Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527490

В треугольнике ABC длина AB равна 3, \angle ACB=\arcsin дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 , хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что \angle ABC=\angle CML, площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1.

а) Найдите высоту треугольника KNC, опущенную из вершины C.

б) Найдите площадь треугольника KNC.

Решение.

Треугольники ACB и NCM подобны по двум углам с коэффициентом AB:MN=3, поэтому

2=S_{ABNM}=S_{ABC} минус S_{MNC}=S_{ABC} минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 S_{ABC}= дробь, числитель — 8, знаменатель — 9 S_{ABC}.

Отсюда S_{ABC}= дробь, числитель — 9, знаменатель — 4 . Обозначим стороны треугольника AC=b, BC=a. Тогда

S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ab умножить на синус \angle ACB= дробь, числитель — 3, знаменатель — 10 ab,

откуда ab= дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 . По теореме косинусов для треугольника ABC в то же время имеем

9=a в степени 2 плюс b в степени 2 минус 2ab косинус \angle ACB=a в степени 2 плюс b в степени 2 минус 2 умножить на дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 ,

откуда a в степени 2 плюс b в степени 2 =21, поэтому (a плюс b) в степени 2 =a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс 2ab=36 и a плюс b=6. Значит, a и b являются корнями квадратного уравнения t в степени 2 минус 6t плюс дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 =0 (теорема Виета), поэтому они равны 3\pm корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 }. Будем считать, что AC больше BC, тогда

b=3 плюс корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 }, a=3 минус корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 }.

а) Найдем высоту треугольника ACB и уменьшим ее втрое. Имеем:

h_c= дробь, числитель — 2S_ABC, знаменатель — AB = дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 умножить на 3 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 ,

поэтому ответ  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

б) Обозначим KM=x, LN=y. Из подобия, кроме того, MC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 a, NC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 b, MA=b минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 a, NB=a минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 b. По свойству пересекающихся хорд имеем KM умножить на MN=CM умножить на MA и KL умножить на LN=CL умножить на LB. Далее:

x(1 плюс y)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 a левая круглая скобка b минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 a правая круглая скобка и y(1 плюс x)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 b левая круглая скобка a минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 b правая круглая скобка .

Складывая эти уравнения, получим:

2xy плюс x плюс y= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 ab минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 (a в степени 2 плюс b в степени 2 )= дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 .

Вычитая, получим:

x минус y= дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 (b в степени 2 минус a в степени 2 )= дробь, числитель — 1, знаменатель — 9 (a плюс b)(b минус a)= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 (b минус a)= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 }= дробь, числитель — 2 корень из { 2}, знаменатель — корень из { 3 }.

Следовательно x в степени 2 минус 2xy плюс y в степени 2 = дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 . Прибавляя к этому уравнению удвоенное уравнение 2xy плюс x плюс y= дробь, числитель — 8, знаменатель — 3 , получим:

x в степени 2 плюс y в степени 2 плюс 2xy плюс 2x плюс 2y=8 равносильно (x плюс y) в степени 2 плюс 2(x плюс y)=8 равносильно (x плюс y плюс 1) в степени 2 =9;

KL=x плюс y плюс 1=3.

Значит,

S_{KCN}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 KN умножить на d(C,KN)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 .

 

Ответ: а)  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; б)  дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 264.
Методы геометрии: Свойства высот, Свойства хорд, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники