Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527511

В окружность с центром О вписан треугольник ABC  левая круглая скобка \angle A больше дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая круглая скобка . Продолжение биссектрисы AF угла A этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус AO пересекает сторону BC в точке E. Пусть AH — высота треугольника ABC. Известно, что AL=4 корень из { 2}, AH= корень из { 2 корень из { 3}}, \angle AEH= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 .

а) Докажите, что AF — биссектриса угла EAH.

б) Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырехугольника OEFL.

Решение.

а) Обозначим \angle HAC=\alpha. Тогда

\angle ACH=90 в степени \circ минус \alpha,

\angle AOB=2\angle ACB=180 в степени \circ минус 2\alpha

по теореме о вписанном угле. Поскольку треугольник ABO равнобедренный,

\angle BAO= дробь, числитель — 180 в степени \circ минус \angle AOB, знаменатель — 2 =\alpha=\angle HAC.

Значит

\angle EAF=\angle FAB минус \angle EAB=\angle FAC минус \angle HAC=\angle FAH,

поэтому AF — биссектриса угла EAH.

б) Поскольку

\angle EAH=180 в степени \circ минус \angle AHE минус \angle AEH=180 в степени \circ минус 90 в степени \circ минус 60 в степени \circ =30 в степени \circ ,

поэтому \angle EAF= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle EAH=15 в степени \circ . Треугольник AOL — равнобедренный, поэтому \angle LOA=150 в степени \circ . По теореме синусов для треугольника AOL получаем  дробь, числитель — R, знаменатель — синус 15 в степени \circ = дробь, числитель — AL, знаменатель — синус 150 в степени \circ , откуда R=8 корень из { 2} синус 15 в степени \circ . Площадь AOL равна

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 R в степени 2 синус 150 в степени \circ =32 синус в степени 2 15 в степени \circ .

В треугольнике AEH имеем

AE= дробь, числитель — AH, знаменатель — синус \angle AEH = дробь, числитель — корень из { 2 корень из { 3}}, знаменатель — дробь, числитель — корень из { 3 , знаменатель — { 2}}= дробь, числитель — 2 корень из { 2}, знаменатель — корень из [ 4]{3 },

EH= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AE= дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — корень из [ 4]{3 }.

Из треугольника AFH имеем

FH=AH тангенс 15 в степени \circ = корень из { 2} корень из [ 4]{3} тангенс 15 в степени \circ ,

поэтому

EF= дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — корень из [ 4]{3 } минус корень из { 2} корень из [ 4]{3} тангенс 15 в степени \circ .

Значит,

S_{EFA}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 EF умножить на AH= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ( дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — корень из [ 4]{3 } минус корень из { 2} корень из [ 4]{3} тангенс 15 в степени \circ ) корень из { 2} корень из [ 4]{3},

S_{OEFL}:S_{AOL}=1 минус S_{AEF}:S_{AOL}=1 минус дробь, числитель — дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ( дробь, числитель — корень из { 2, знаменатель — , знаменатель — корень из [ 4]{3 } минус корень из { 2} корень из [ 4]{3} тангенс 15 в степени \circ ) корень из { 2} корень из [ 4]{3}}{32 синус в степени 2 15 в степени \circ }=

=1 минус дробь, числитель — 2 минус 2 корень из { 3} тангенс 15 в степени \circ , знаменатель — 64 синус в степени 2 15 в степени \circ = 1 минус дробь, числитель — 2 косинус 15 в степени \circ минус 2 корень из { 3} синус 15 в степени \circ , знаменатель — 64 косинус 15 в степени \circ синус в степени 2 15 в степени { \circ }=

=1 минус дробь, числитель — дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на косинус 15 в степени \circ минус дробь, числитель — корень из { 3, знаменатель — , знаменатель — 2 синус 15 в степени \circ }{16 косинус 15 в степени \circ синус 15 в степени \circ умножить на синус 15 в степени \circ }=1 минус дробь, числитель — синус 30 в степени \circ косинус 15 в степени \circ минус косинус 30 в степени \circ синус 15 в степени \circ , знаменатель — 8 синус 30 в степени \circ умножить на синус 15 в степени { \circ }=

=1 минус дробь, числитель — синус (30 в степени \circ минус 15 в степени \circ ), знаменатель — 8 синус 30 в степени \circ умножить на синус 15 в степени { \circ }= 1 минус дробь, числитель — синус 15 в степени \circ , знаменатель — 4 умножить на синус 15 в степени \circ =1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 .

Значит, S_{AOL}:S_{OEFL}= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 .

 

Ответ: б)  дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 266.
Методы геометрии: Теорема синусов, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Треугольники