Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527543

Площадь трапеции ABCD равна 6. Пусть E — точка пересечения продолжений боковых сторон этой трапеции. Через точку E и точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, которая пересекает меньшее основание BC в точке P, а большее основание AD — в точке Q. Точка F лежит на отрезке EC, причем EF:FC=EP:EQ=1:3.

а) Докажите, что прямая EQ точками пересечения делит основания трапеции пополам.

б) Найдите площадь треугольника EPF.

Решение.

а) Пусть P и Q — середины оснований трапеции, O — точка пересечения диагоналей. Докажем, что E, P, O, Q лежат на одной прямой. Треугольники CEB и DEA подобны, поэтому их медианы образуют равные углы со сторонами EC и ED. Поэтому E, P, Q лежат на одной прямой. Треугольники COB и DOA подобны, поэтому их медианы образуют равные углы со сторонами OC и OA. Поэтому O, P, Q лежат на одной прямой.

б) Поскольку EP:EQ=1:3, то коэффициент подобия CEB и DEA равен трем, S_{DEA}=9S_{CEB},

S_{ABCD}=S_{AED} минус S_{CEB}=8S_{CEB},

откуда S_{CEB}= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 и S_{AED}= дробь, числитель — 27, знаменатель — 4 .

Теперь найдём площадь треугольника EPF:

S_{EPF}= дробь, числитель — EP, знаменатель — EQ умножить на дробь, числитель — EF, знаменатель — EC умножить на S_{QEC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 умножить на дробь, числитель — EC, знаменатель — ED умножить на S_{QED}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 умножить на дробь, числитель — EP, знаменатель — EQ умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 S_{AED}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 72 умножить на дробь, числитель — 27, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 32 .

Ответ: б)  дробь, числитель — 3, знаменатель — 32 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 267.
Классификатор планиметрии: Замечательное свойство трапеции, Подобие, Треугольники