Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527550

Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиуса 5 проходит через вершину K, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A. Известно, что ML=9 корень из { 3}, KA:LB=5:6.

а) Найдите угол K треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM.

Решение.

а) Обозначим за T точку пересечения окружности с KM, отличную от M. По теореме о касательной и секущей LA умножить на LK=LB в степени 2 . Обозначим KA=5x, LB=6x, LA=y, тогда y(y плюс 5x)=36x в степени 2 , (y минус 4x)(y плюс 9x)=0, поэтому AL=4x. Далее, \angle AKB=\angle LBA, поскольку первый из них — вписанный, опирающийся на дугу AB, а второй — угол между касательной и хордой, стягивающей дугу AB. Значит, и \angle BAT=\angle BKT=\angle LBA, откуда прямая AT параллельна прямой LM и треугольники AKT и LKM подобны, поэтому AT= дробь, числитель — 5, знаменатель — 9 LM=5 корень из { 3}.

По теореме синусов для треугольника KAT имеем  дробь, числитель — AT, знаменатель — синус \angle AKT =2R_{AKT}=10, откуда  синус \angle AKT= дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 , \angle LKM=\angle AKT=60 в степени \circ или 120 в степени \circ . Второй ответ невозможен, см. п.б).

б) Пусть KT=5z, тогда KM=9z и MT=4z. По свойству биссектрисы LK:KM=LB:BM, откуда BM=6z. Тогда по условию

6x плюс 6z=9 корень из { 3} равносильно x плюс z= дробь, числитель — 3 корень из { 3}, знаменатель — 2 .

А по теореме косинусов для треугольника AKT имеем

75=25x в степени 2 плюс 25z в степени 2 \pm 25xz равносильно совокупность выражений (x плюс z) в степени 2 минус xz=3,(x плюс z) в степени 2 минус 3xz=3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений xz= дробь, числитель — 15, знаменатель — 4 ,xz= дробь, числитель — 5, знаменатель — 4 . конец совокупности .

Очевидно первый случай невозможен, поскольку неравенство (x плюс z) в степени б ольше или равно 4xz (верное при любых значениях переменных) не выполняется в этом случае. Значит, xz= дробь, числитель — 5, знаменатель — 4 и  \angle LKM=60 в степени \circ . Тогда

S_{LKM}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 KL умножить на KM умножить на синус 60 в степени \circ = дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 4 умножить на 9x умножить на 9z= дробь, числитель — 81 корень из { 3}, знаменатель — 4 xz= дробь, числитель — 405 корень из { 3}, знаменатель — 16 .

 

Ответ: а) 60 в степени \circ ; б)  дробь, числитель — 405 корень из { 3}, знаменатель — 16 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 268.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Треугольники