Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 527847

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 1, высота SO = 2, точка M — середина ребра BS.

а) Докажите, что AM параллельна FN, где N — середина ребра SE.

б) Найдите расстояние от точки E до прямой AM.

Спрятать решение

Решение.

а) Рассмотрим треугольник SEB. В нём MN — средняя линия, следовательно, MN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби EB, MN||EB. Кроме того, EB||AF и EB=2AF, как одна из главных диагоналей шестиугольника. Значит, MN=AF и MN||AF, следовательно, AMNF — параллелограмм, и прямая AM||FN.

б) Расстояние от точки E до AM равно высоте hE треугольника AEM, проведённой из вершины E. Найдём стороны этого треугольника. Сторона AE= корень из 3, как малая диагональ шестиугольника,

AM= корень из AM' в квадрате плюс MM' в квадрате = корень из левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 1 в квадрате = дробь: числитель: корень из 7, знаменатель: 2 конец дроби ,

EM= корень из EM' в квадрате плюс MM' в квадрате = корень из левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 1 в квадрате = дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 2 конец дроби .

Теперь найдём S_AEM по формуле Герона:

S_AEM= корень из левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 7, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 7, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: корень из 7, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 7, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =

= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 корень из левая круглая скобка левая круглая скобка 2 корень из 3 плюс корень из 7 правая круглая скобка в квадрате минус 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 13 минус левая круглая скобка 2 корень из 3 минус корень из 7 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 корень из левая круглая скобка 4 корень из 21 плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 корень из 21 минус 6 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16 корень из 300= дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби корень из 3,

откуда

EH= дробь: числитель: 2S_AEM, знаменатель: AM конец дроби = дробь: числитель: 5 корень из 3, знаменатель: 4 умножить на \dfrac корень из 72 конец дроби = дробь: числитель: 5 корень из 21, знаменатель: 14 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 5 корень из 21, знаменатель: 14 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 282.