В треугольник ABC вписана окружность радиуса 4, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 8 и CM = 12.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
а) Пусть вписанная окружность касается стороны BC в точке K. Обозначим 
Пусть S — площадь треугольника, p — полупериметр. Тогда
С другой стороны, по формуле Герона
Из уравнения 
получаем, что 
Стороны треугольника ABC равны 20, 16 и 12, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.
б) Пусть I и O — центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC соответственно. Точка O — середина гипотенузы 
и 
Тогда
Ответ: б) 