Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 537136
i

Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность еди­нич­но­го ра­ди­у­са. Из­вест­но, что AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; угол ABE= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; угол EBD= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; BC=CD.

а)  До­ка­жи­те, что центр окруж­но­сти лежит на одной из диа­го­на­лей пя­ти­уголь­ни­ка.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По тео­ре­ме си­ну­сов дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: синус \angle AEB конец дроби =2R=2, то есть синус \angle AEB= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда угол AEB равен 45°, от­ку­да угол BAE равен 90°. Сле­до­ва­тель­но, BE  — диа­метр окруж­но­сти.

б)  По­сколь­ку угол EBD равен 30°, то дуга ED равна 60°, тогда дуги CD и ED равны также 60°, сле­до­ва­тель­но, угол BDC равен 30°. Таким об­ра­зом, по­лу­чим BD=BE умно­жить на ко­си­нус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Далее най­дем:

BC=2R умно­жить на синус \angle BDC=2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1.

Вы­чис­лим пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка ABCDE:

S_ABCDE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AB умно­жить на BE умно­жить на синус 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс BE умно­жить на BD умно­жить на синус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс BD умно­жить на BC умно­жить на синус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 4 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 307 (часть 2)
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025