а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S через сто­ро­ну ос­но­ва­ния АВ про­ве­де­на плос­кость, де­ля­щая бо­ко­вые ребра про­ти­во­по­лож­ной грани по­по­лам.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость се­че­ния делит грань SCD на части, пло­ща­ди ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 2.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью, если сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность еди­нич­но­го ра­ди­у­са. Из­вест­но, что угол угол

а)  До­ка­жи­те, что центр окруж­но­сти лежит на одной из диа­го­на­лей пя­ти­уголь­ни­ка.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка.

Хи­ми­че­ский ком­би­нат по­лу­чил заказ на из­го­тов­ле­ние эти­ло­во­го спир­та, со­ля­ной кис­ло­ты и ди­стил­ли­ро­ван­ной воды. Для го­то­вой про­дук­ции по­тре­бо­ва­лась 21 же­лез­но­до­рож­ная ци­стер­на. При пе­ре­ка­чи­ва­нии были ис­поль­зо­ва­ны три спе­ци­а­ли­зи­ро­ван­ных на­со­са: сна­ча­ла пер­вый насос на­пол­нил че­ты­ре ци­стер­ны эти­ло­вым спир­том, затем вто­рой насос на­пол­нил шест­на­дцать ци­стерн со­ля­ной кис­ло­той и в за­вер­ше­ние тре­тий насос на­пол­нил одну ци­стер­ну ди­стил­ли­ро­ван­ной водой. Най­ди­те ми­ни­маль­но воз­мож­ное время, за­тра­чен­ное на пе­ре­ка­чи­ва­ние всех про­дук­ции, если из­вест­но, что сум­мар­ная про­из­во­ди­тель­ность всех на­со­сов равна семи ци­стер­нам в сутки.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а из от­рез­ка при ко­то­рых не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при любых

На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ван пря­мо­уголь­ник раз­ме­ра m × n кле­ток и про­ве­де­на его диа­го­наль. Все вер­ши­ны пря­мо­уголь­ни­ка лежат в узлах сетки и сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка не пе­ре­се­ка­ют клет­ки.

а)  Через сколь­ко узлов сетки прой­дет диа­го­наль, если

б)  На сколь­ко ча­стей эта диа­го­наль де­лит­ся ли­ни­ям сетки, если

в)  Най­ди­те m и n, если из­вест­но, что числа m и n вза­им­но про­стые, m < n и диа­го­наль этого пря­мо­уголь­ни­ка не пе­ре­се­ка­ет ровно 2020 кле­ток этого пря­мо­уголь­ни­ка.