Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д16 C5 № 537137
i

Хи­ми­че­ский ком­би­нат по­лу­чил заказ на из­го­тов­ле­ние эти­ло­во­го спир­та, со­ля­ной кис­ло­ты и ди­стил­ли­ро­ван­ной воды. Для го­то­вой про­дук­ции по­тре­бо­ва­лась 21 же­лез­но­до­рож­ная ци­стер­на. При пе­ре­ка­чи­ва­нии были ис­поль­зо­ва­ны три спе­ци­а­ли­зи­ро­ван­ных на­со­са: сна­ча­ла пер­вый насос на­пол­нил че­ты­ре ци­стер­ны эти­ло­вым спир­том, затем вто­рой насос на­пол­нил шест­на­дцать ци­стерн со­ля­ной кис­ло­той и в за­вер­ше­ние тре­тий насос на­пол­нил одну ци­стер­ну ди­стил­ли­ро­ван­ной водой. Най­ди­те ми­ни­маль­но воз­мож­ное время, за­тра­чен­ное на пе­ре­ка­чи­ва­ние всех про­дук­ции, если из­вест­но, что сум­мар­ная про­из­во­ди­тель­ность всех на­со­сов равна семи ци­стер­нам в сутки.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём сле­ду­ю­щие обо­зна­че­ния: про­из­во­ди­тель­ность пер­во­го на­со­са x ци­стерн/сутки, вто­ро­го на­со­са  — y ци­стерн/сутки, а тре­тье­го  — z ци­стерн/сутки, где x боль­ше 0;y боль­ше 0;z боль­ше 0. Тогда

x плюс y плюс z = 7.

Тре­бу­ет­ся найти наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния t= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: z конец дроби . До­мно­жим обе части этого вы­ра­же­ния на x плюс y плюс z, по­лу­чим:

t левая круг­лая скоб­ка x плюс y плюс z пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: z конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс y плюс z пра­вая круг­лая скоб­ка ,

7t=4 плюс дробь: чис­ли­тель: 4y}x плюс дробь: чис­ли­тель: 4z}x плюс дробь: чис­ли­тель: 16x, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс 16 плюс дробь: чис­ли­тель: 16z, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: x конец дроби , зна­ме­на­тель: z конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: y конец дроби , зна­ме­на­тель: z конец дроби плюс 1 =

=21 плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4y}x плюс дробь: чис­ли­тель: 16x, зна­ме­на­тель: y конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4z}x плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: z конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби 6z, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: y конец дроби , зна­ме­на­тель: z конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =

=21 плюс 8 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: y конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2z}x плюс дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2z конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4z, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: y конец дроби , зна­ме­на­тель: 4z конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­ме­тим, что сумма двух вза­им­но об­рат­ных по­ло­жи­тель­ных чисел не мень­ше 2, зна­чит, 7t боль­ше или равно 21 плюс 8 умно­жить на 2 плюс 2 умно­жить на 2 плюс 4 умно­жить на 2, от­ку­да t\geqslant7. Сле­до­ва­тель­но, время, за­тра­чен­ное на пе­ре­ка­чи­ва­ние всей про­дук­ции, не может быть мень­ше 7 суток.

По­ка­жем, что оцен­ка яв­ля­ет­ся точ­ной: при x=2;y=4;z=1 вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство x плюс y плюс z = 7, а тре­бу­е­мое время

t= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: y конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: z конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби =7.

Ответ: 7 суток.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ3
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель, ре­ше­ние све­де­но к ис­сле­до­ва­нию этой мо­де­ли и по­лу­чен ре­зуль­тат:

– не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки;

– вер­ный ответ, но ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но

2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель, ре­ше­ние све­де­но к ис­сле­до­ва­нию этой мо­де­ли, при этом ре­ше­ние может быть не за­вер­ше­но1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 307 (часть 2)