ЕГЭ−2021, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 6 № 54187

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны $50 плюс 25 корень из { 2}.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны $2 плюс корень из { 2}.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

$r= дробь, числитель — a плюс b минус c, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 2a минус a корень из { 2}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — a(2 минус корень из { 2}), знаменатель — 2 = дробь, числитель — (2 плюс корень из { 2})(2 минус корень из { 2}), знаменатель — 2 =1.$

Ответ: 1.

Приведём другое решение.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его удвоенной площади к периметру. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Тем самым, для катетов $a=b=2 плюс корень из 2$ и гипотенузы $с= корень из { a в степени 2 плюс b в степени 2 }=a корень из 2$ имеем:

$r= дробь, числитель — 2S, знаменатель — P = дробь, числитель — ab, знаменатель — a плюс b плюс c = дробь, числитель — a в степени 2 , знаменатель — 2a плюс a корень из { 2 }= дробь, числитель — a в степени 2 , знаменатель — a(2 плюс корень из { 2 )}= дробь, числитель — a, знаменатель — 2 плюс корень из { 2 }= дробь, числитель — 2 плюс корень из { 2}, знаменатель — 2 плюс корень из { 2 }=1.$

Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина