Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 544250

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Точка N — середина отрезка АС.

а) Докажите, что плоскость NA1D делит сторону АВ основания призмы в отношении 2 : 1.

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости NA1D .

Спрятать решение

Решение.

а) Рассмотрим основание призмы — шестиугольник ABCDEF в котором N — середина его диагонали AC. Данная точка является точкой пересечения диагоналей AC и BE. Так как N принадлежит NAD и D принадлежит NA_1D, то DN принадлежит NA_1D. Тогда сечение пересекает основание по прямой DN. Пусть M является точкой пересечения DN и AB. Рассмотрим треугольник DEN и BMN. Эти треугольники подобны по двум углам, при этом коэффициент подобия k= дробь: числитель: BN, знаменатель: NE конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , следовательно,  дробь: числитель: BM, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: BM, знаменатель: DE конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . Тогда  дробь: числитель: MA, знаменатель: MB конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби .

б) Рассмотрим тетраэдр AMDA_1 и вычислим его объем двумя способами:

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_AMD умножить на AA_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AM умножить на BD умножить на AA_1 = дробь: числитель: 16 корень из 3, знаменатель: 9 конец дроби .

С другой стороны, V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_A_1MD умножить на h, где h — искомое расстояние.

Найдем площадь треугольника A1MD по формуле Герона. Для этого найдем его стороны:

AD= корень из AD в квадрате плюс AA_1 в квадрате =4 корень из 2,

A_1M = корень из AA_1 в квадрате плюс AM в квадрате = дробь: числитель: 4 корень из 10, знаменатель: 3 конец дроби ,

DM = корень из BD в квадрате плюс BM в квадрате = дробь: числитель: 4 корень из 7, знаменатель: 3 конец дроби .

Таким образом, площадь треугольника S_A_1MD= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби корень из 31.

Тогда искомое расстояние h= дробь: числитель: V_AMDA_1, знаменатель: S_A_1MD конец дроби = 4 корень из дробь: числитель: 3, знаменатель: 31 конец дроби .

 

Ответ: б) 4 корень из дробь: числитель: 3, знаменатель: 31 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 312. (Часть C)