Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 544274

В правильной четырехугольной пирамиде плоскость α, проведенная через сторону основания, делит двухгранный угол при основании пирамиды и боковую поверхность пирамиды пополам.

а) Докажите, что двухгранный угол при основании пирамиды равен 45°.

б)  Найдите расстояние от плоскости α до вершины пирамиды, если сторона основания пирамиды равна 1.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть плоскость α проходит через ребро AB и пересекает ребра SC и SD в точках M и N соответственно. Очевидно, что прямая MN параллельна прямым AB и CD, поэтому треугольник SMN подобен треугольнику SCD. Пусть k  — коэффициент подобия, и пусть S — площадь боковой грани, тогда S_SMN=k в квадрате S и S_SAN = S_SBM = kS. Имеем:

k в квадрате S плюс 2kS плюс S = 2S равносильно k в квадрате плюс 2k минус 1=0 равносильно k= корень из 2 минус 1.

Рассмотрим сечение, проходящее через середины T и P ребер AB и CD соответственно и содержащее высоту пирамиды. Очевидно, что STP — линейный угол двугранного угла при основании пирамиды, а TR — его биссектриса, где R — точка пресечения прямых MN и SP. Тогда

 дробь: числитель: SR, знаменатель: SP конец дроби = корень из 2 минус 1 равносильно SR = левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка SP,

Следовательно, RP=SP минус SR = SR левая круглая скобка 2 минус корень из 2 правая круглая скобка , откуда  дробь: числитель: SR, знаменатель: RP конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби .

По теореме о биссектрисе треугольника  дробь: числитель: ST, знаменатель: TP конец дроби = дробь: числитель: SR, знаменатель: RP конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби . Тогда если сторона основания 2а, то TP = 2a, TO = a, ST=a корень из 2, и, следовательно, SO = a. Треугольник SOT прямоугольный и равнобедренный, а угол STO = 45°.

б) Опустим из вершины S перпендикуляр SH на прямую TR. Рассмотрим плоскость STP. Заметим, что SH принадлежит STP, прямая SO перпендикулярна прямой CD, прямая TP перпендикулярна прямой CD. Поэтому плоскость STP перпендикулярна прямой CD, а значит, прямая SH перпендикулярна прямой CD. Кроме того SH перпендикулярна MN, и SH перпендикулярна TR по построению. Таким образом, прямая SH перпендикулярна плоскости α а длина отрезка SH является искомым расстоянием.

Очевидно, что SH= ST синус 22,5 градусов. Из пункта а) известно, что ST= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби . Воспользуемся формулой половинного угла:

 синус 22,5 градусов = синус дробь: числитель: 45 градусов, знаменатель: 2 конец дроби = корень из дробь: числитель: 1 минус косинус 45 градусов, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 минус корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби .

Тогда

SH= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 2 минус корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 4 минус 2 корень из 2, знаменатель: 4 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: корень из 4 минус 2 корень из 2, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 311. (Часть C)