Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 547304

Точки А и В лежат на окружности с центром О и радиусом 6, а точка С равноудалена от точек А, В и О. Другая окружность с центром Q и радиусом 8 описана около треугольника АСО.

а) Докажите, что точка пересечения прямых АВ и СQ лежит на окружности, описанной около треугольника ОСВ.

б) Найдите длину отрезка QB.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть AB и CQ пересекаются в точке T. Треугольник AOB — равнобедренный. Треугольник ATO также равнобедренный, так как CT — серединный перпендикуляр к AO. Тогда \angle OBT = \angle OBA = 90 градусов минус \angle BOC = 90 градусов минус \angle AOC=\angle OCT. Поэтому точки B, O, T, C лежат на одной окружности.

б) Треугольник QCO — равнобедренный, поэтому

\angle QOC = \angle QCO = \angle TBO = 90 градусов минус \angle BOC,

откуда \angle QOB=90 градусов. По условию, QO = 8 и OB = 6. Значит, QB в квадрате = 8 в квадрате плюс 6 в квадрате = 100, тогда QB = 10.

 

Ответ: б) 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 316. (Часть C)