Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 547769

Найдите все значения параметра p, при каждом из которых система неравенств

 система выражений x в степени 2 плюс 18px плюс 77p в степени 2 меньше или равно 0,(x минус 324) в степени 2 больше или равно (29p) в степени 2 конец системы .

имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем систему:

 система выражений x в степени 2 плюс 18px плюс 77p в степени 2 меньше или равно 0,(x минус 324) в степени 2 больше или равно (29p) в степени 2 конец системы . равносильно система выражений (x плюс 9p) в степени 2 минус 4p в степени 2 меньше или равно 0,(x минус 324) в степени 2 минус (29p) в степени 2 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений (x плюс 11p)(x плюс 7p)\le0,(x минус 324 плюс 29p)(x минус 324 минус 29p)\ge0. конец системы .

Изобразим решение системы в системе координат pOx. Множества точек, координаты которых являются решением каждого из неравенств, представляют собой пары вертикальных углов:

— для неравенства (x плюс 11p)(x плюс 7p)\le0 это вертикальные углы, образованные прямыми x= минус 11p и x= минус 7p (см. рис., выделено синим);

— для неравенства (x минус 324 плюс 29p)(x минус 324 минус 29p)\ge0 это вертикальные углы, образованные прямыми x=324 минус 29p и x=324 плюс 29p (выделено красным).

Пересечение этих областей (выделено сиреневым) соответствует решению системы.

Система имеет единственное решение, если p=p_1, p=0 или p=p_2, где p_1 — абсцисса точки пересечения прямых x=324 плюс 29p и x= минус 7p, а p_2 — абсцисса точки пересечения прямых x=324 минус 29p и x= минус 11p.

Найдём p_1:

324 плюс 29p= минус 7p равносильно p= минус 9.

Найдём p_2:

324 минус 29p= минус 11p равносильно p=18.

Таким образом, система имеет единственное решение, если p= минус 9, p=0 или p=18.

 

Ответ: \{ минус 9, 0, 18\}.

 

Примечание.

Дополнительно заметим, что система не имеет решений, если p меньше p_1 или p больше p_2; система имеет бесконечно много решений, если p_1 меньше p меньше 0 или 0 меньше p меньше p_2.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 318. (Часть C)