Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 548181

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Точка Р — середина ВС, на ребре AS отмечена точка N, причем PN перпендикулярна AS.

а) Доказать, что  синус \angle ASO= дробь: числитель: NO, знаменатель: PS конец дроби .

б)  Найдите расстояние от точки О до плоскости SBC, если AB=12 корень из 3,  синус \angle ASO= дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 13 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Отрезок PN лежит в плоскости SPA и является высотой треугольника SPA. Пусть H — это точка пересечения PN и SO, точка пересечения его высот. Четырехугольник SPON является вписанным в окружность с диаметром SP и, следовательно, углы SPA и ANO равны, откуда треугольники ANO и ASP подобны по двум углам. Коэффициент подобия этих треугольников равен

k= дробь: числитель: NO, знаменатель: PS конец дроби = дробь: числитель: AO, знаменатель: AS конец дроби = синус ASO.

б) Высота треугольника ABC равна AP= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби AB=18, тогда AO= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби AP=12. Следовательно, AS= дробь: числитель: AO, знаменатель: синус \angle ASO конец дроби = 4 корень из 13, откуда можно найти высоту пирамиды: SO = корень из AS в квадрате минус AO в квадрате =8. Найдем объем пирамиды SABC:

V_SABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на SO умножить на S_ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на SO умножить на AP умножить на BC = дробь: числитель: 8 умножить на 18 умножить на 12\sqrrt3, знаменатель: 6 конец дроби =288 корень из 3.

Этот же объем может быть вычислен при помощи формулы V_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на h_a умножить на S_ABC, где ha — длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A. В треугольнике SPA проведем AK перпендикулярно SP. В силу перпендикулярности прямой ВС и плоскости SPA (что следует из перпендикулярности BC прямым SP и AP), прямые AK и ВС также перпендикулярны, а потому прямая АК перпендикулярна плоскости SBC, то есть является высотой пирамиды. Пусть d — это искомое расстояние от точки O до плоскости SBC. Это расстояние равно расстоянию от O до отрезка SP и составляет одну третью длины АР. Имеем: SP= корень из SB в квадрате минус PB в квадрате =10, S_ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на BC умножить на SP = 60 корень из 3, тогда

d= дробь: числитель: h_a, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: V_SABC, знаменатель: S_ABC конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 320. (Часть C)