В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Точка Р — середина ВС, на ребре AS отмечена точка N, причем PN перпендикулярна AS.
а) Доказать, что 
б) Найдите расстояние от точки О до плоскости SBC, если 
а) Отрезок PN лежит в плоскости SPA и является высотой треугольника SPA. Пусть H — это точка пересечения PN и SO, точка пересечения его высот. Четырехугольник SPON является вписанным в окружность с диаметром SP и, следовательно, углы SPA и ANO равны, откуда треугольники ANO и ASP подобны по двум углам. Коэффициент подобия этих треугольников равен
б) Высота треугольника ABC равна 
тогда 
Следовательно, 
откуда можно найти высоту пирамиды: 
Найдем объем пирамиды SABC:
Этот же объем может быть вычислен при помощи формулы 
где ha — длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A. В треугольнике SPA проведем AK перпендикулярно SP. В силу перпендикулярности прямой ВС и плоскости SPA (что следует из перпендикулярности BC прямым SP и AP), прямые AK и ВС также перпендикулярны, а потому прямая АК перпендикулярна плоскости SBC, то есть является высотой пирамиды. Пусть d — это искомое расстояние от точки O до плоскости SBC. Это расстояние равно расстоянию от O до отрезка SP и составляет одну третью длины АР. Имеем: 
тогда
Ответ: б) 