Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 548484

Десять мальчиков и семь девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые две девочки набрали больше грибов, чем любые три мальчика, но любые пять мальчиков набрали больше грибов, чем любые три девочки.

а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?

б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?

в) Найдите минимальное возможное количество грибов, собранное всеми детьми суммарно.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть какая-то девочка собрала меньше грибов, чем какой-то мальчик. Добавим к ним пять других мальчиков и трёх других девочек. Получаем, что четыре девочки собрали меньше грибов, чем шесть мальчиков, что противоречит условию, поскольку любые две девочки собрали больше грибов, чем любые три мальчика.

б) Пусть десять мальчиков собрали 91, 92, ..., 100 грибов соответственно, а семь девочек 149, 150 ..., 155 грибов. Тогда условия задачи выполнены.

в) Пусть десять мальчиков собрали a_1 меньше или равно a_2 меньше или равно \ldots меньше или равно a_10 грибов соответственно, а семь девочек b_1 меньше или равно b_2 меньше или равно \ldots меньше или равно b_7 грибов. По условию

 левая круглая скобка a_8 плюс a_9 плюс a_10 правая круглая скобка плюс 1 меньше или равно b_1 плюс b_2 и b_5 плюс b_6 плюс b_7 плюс 1 меньше или равно a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 плюс a_5.

Получаем:

3 левая круглая скобка a_8 плюс a_9 плюс a_10 правая круглая скобка плюс 5 меньше или равно 3 левая круглая скобка b_1 плюс b_2 правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 2 левая круглая скобка b_5 плюс b_6 плюс b_7 плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 2 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 плюс a_5 правая круглая скобка меньше или равно a_1 плюс 3 левая круглая скобка a_8 плюс a_9 плюс a_10 правая круглая скобка ,

откуда 5 меньше или равно a_1 меньше или равно a_2 меньше или равно \ldots меньше или равно a_10.

Аналогично,

3 левая круглая скобка b_5 плюс b_6 плюс b_7 правая круглая скобка плюс 8 меньше или равно 3 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 плюс a_5 правая круглая скобка плюс 5 меньше или равно 5 левая круглая скобка a_8 плюс a_9 плюс a_10 плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 5 левая круглая скобка b_1 плюс b_2 правая круглая скобка меньше или равно b_1 плюс 3 левая круглая скобка b_5 плюс b_6 плюс b_7 правая круглая скобка ,

откуда 8 меньше или равно b_1 меньше или равно b_2 меньше или равно \ldots меньше или равно b_7.

Следовательно, суммарное число грибов не меньше 10 · 5 + 7 · 8 = 106. Если десять мальчиков собрали по 5 грибов, а семь девочек по 8 грибов, то условия задачи выполнены, а суммарное число грибов равно 106. Таким образом, наименьшее суммарное число грибов равно 106.

 

Ответ: а) нет, б) да, в) 106.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— искомая оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 991, Задания 19 ЕГЭ–2020