а)  Пусть точка T  — се­ре­ди­на ребра AB. От­ме­тим сразу, что пря­мые QT и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны, при­чем За­ме­тим, что

Таким об­ра­зом, пря­мые KN и QM па­рал­лель­ны, а зна­чит, они лежат в одной плос­ко­сти.

б)  По­стро­им се­че­ние QMN. Про­длим KN до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­ем AC в точке P, тогда тре­уголь­ни­ки KC₁N и PCN равны по ка­те­ту и остро­му углу, от­ку­да

Те­перь про­длим от­ре­зок PM до пе­ре­се­че­ния с AB в точке S. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABC и пря­мой SMP по­лу­чим:

от­ку­да AS : SB  =  3. Далее, про­длим SQ до пе­ре­се­че­ния с A₁B₁ в точке L. Эта точка сим­мет­рич­на S от­но­си­тель­но Q, по­это­му A₁L : LB₁  =  1 : 3. Пя­ти­уголь­ник LKNMS  — ис­ко­мое се­че­ние. Най­дем его пло­щадь.

Про­длим SL и PK до пе­ре­се­че­ния в точке Z, ле­жа­щей на AA₁. Тогда S_LKNMS  =  S_SZP − S_MNP − S_LZK. За­ме­тим, что от­ку­да сле­ду­ет, что SP : MP  =  3 : 2, то есть Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки LA₁K и SBM  — они равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, по­это­му Кроме того, LK па­рал­лель­но SP как пря­мые, по ко­то­рым плос­кость пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные ос­но­ва­ния приз­мы. Тогда тре­уголь­ни­ки ZKL и ZPS по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 3. Таким об­ра­зом, по­то­му ZK  =  KN. Ана­ло­гич­но ZL  =  LQ  =  QS, и тре­уголь­ни­ки ZPS и QMS по­доб­ны по трем сто­ро­нам с ко­эф­фи­ци­ен­том 3  — в пунк­те a) уже было до­ка­за­но, что QM  =  KN.

Имеем:

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка QMS. Вы­чис­лим для этого тре­уголь­ни­ка сто­ро­ны:

От­сю­да видно, что Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник MSQ пря­мо­уголь­ный. Най­дем его пло­щадь:

Таким об­ра­зом,

Ответ: б)

При­ме­ча­ние.

Тре­уголь­ник MSQ все­гда пря­мо­уголь­ный, по­сколь­ку пря­мые SM и TC па­рал­лель­ны, а пря­мая TC и плос­кость A₁B₁BA пер­пен­ди­ку­ляр­ны. По­это­му пря­мые TC и QS пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пря­мые SM и QS тоже пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

При­ве­дем ре­ше­ние Анны Бу­ки­ной.

а)  От­ре­зок KN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка A₁C₁C, сле­до­ва­тель­но, KN || A₁C.

От­ре­зок QM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка A₁BC, сле­до­ва­тель­но, QM || A₁C.

Тогда KN || QM, сле­до­ва­тель­но, они лежат в одной плос­ко­сти.

б)   Пусть T  — се­ре­ди­на AB, T₁  — се­ре­ди­на A₁B₁. За­ме­тим, что точка Q  — се­ре­ди­на TT₁, сле­до­ва­тель­но, тогда TQNC  — пря­мо­уголь­ник, и QN || TC, QN  =  TC, QN па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям приз­мы.

Пусть плос­кость се­че­ния α пе­ре­се­ка­ет плос­кость AA₁B₁ по пря­мой LS, где L  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α и ребра A₁B₁, S  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α и ребра AB.

Плос­кость α про­хо­дит через пря­мую QN, па­рал­лель­ную ос­но­ва­ни­ям приз­мы, сле­до­ва­тель­но, она пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ния приз­мы по пря­мым, па­рал­лель­ным QN. Тогда LK || QN || C₁T₁, LK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка A₁C₁T₁,

За­ме­тим, что LK ⊥ A₁T₁, LK ⊥ A₁A, сле­до­ва­тель­но, LK пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти A₁B₁В, а зна­чит, и пря­мой LS.

Ана­ло­гич­но MS || QN || TC, MS пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой LS.

Таким об­ра­зом, QLKN и QNMS  — пря­мо­уголь­ные тра­пе­ции.