На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма всех записанных на доске чисел равна 1135.
а) Может ли на доске быть ровно 31 четное число?
б) Могут ли ровно семь чисел на доске оканчиваться на 7?
в) Какое наибольшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?
а) Если бы такое случилось, то среди этих чисел было бы 4 нечетных и 31 четное. Значит, их сумма была бы четна и не могла быть равна 1135.
б) Возьмем наименьшие числа, кончающиеся на 7: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67. Их сумма равна 259. Возьмем наименьшие 27 четных чисел: 
Их сумма равна 
В качестве последнего числа возьмем 
в) Допустим, на доске написаны n чисел, заканчивающихся на 7 и 35 − n четных чисел. Тогда их сумма не меньше, чем сумма наименьших чисел с теми же свойствами. Значит,
Дважды воспользовавшись формулой для суммы арифметической прогрессии, получим:
Квадратный трехчлен в левой части полученного квадратного неравенства принимает наименьшее значение при 
и возрастает при 
При n = 9 левая часть равна −10, а при n = 10 она равна 35, поэтому 
Осталось придумать пример. Можно, например, взять наименьшие 9 чисел, кончающихся на 7 — это числа 7, 27, ... 87 — и наименьшие 26 четных чисел от 2 до 52. Сумма таких чисел равна 1125. Заменив 52 на 62, получим требуемую сумму.
Ответ: а) нет; б) да; в) 9.