а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме АВСDEFА₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что точки F и С рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти ВЕD₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми ЕD₁ и FE₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС с ка­те­та­ми АС  =  4, ВС  =  3 впи­са­на окруж­ность с цен­тром О, ка­са­ю­ща­я­ся сто­рон ВС, АС и АВ тре­уголь­ни­ка в точ­ках R, Q, P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что AO · BO · CO  =  10.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PQR.

Банк предо­став­ля­ет кре­дит сро­ком на 10 лет под 19% го­до­вых на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях: еже­год­но заёмщик воз­вра­ща­ет банку 19% от не­по­га­шен­ной части кре­ди­та и суммы кре­ди­та. Так, в пер­вый год заёмщик вы­пла­чи­ва­ет суммы кре­ди­та и 19% от всей суммы кре­ди­та, во вто­рой год заёмщик вы­пла­чи­ва­ет суммы кре­ди­та и 19% от суммы кре­ди­та и т. д. Во сколь­ко раз сумма, ко­то­рую вы­пла­тит банку заёмщик, будет боль­ше суммы кре­ди­та, если заёмщик не вос­поль­зу­ет­ся до­сроч­ным по­га­ше­ни­ем кре­ди­та?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­не­но при любом зна­че­нии x.

На доске на­пи­са­но 35 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых либо чет­ное, либо его де­ся­тич­ная за­пись окан­чи­ва­ет­ся на цифру 7. Сумма всех за­пи­сан­ных на доске чисел равна 1135.

а)  Может ли на доске быть ровно 31 чет­ное число?

б)  Могут ли ровно семь чисел на доске окан­чи­вать­ся на 7?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 7, может быть на доске?