Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 552936

Про число А известно, что оно не является 2020‐й степенью натурального числа и имеет ровно 2020 различных делителей, включая его самого и единицу.

а) Может ли А быть кубом целого числа?

б) Может ли А быть четвертой степенью целого числа?

в) Найдите наименьшее значение А.

Спрятать решение

Решение.

Напомним, что если число раскладывается на произведение степеней простых сомножителей как p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка \ldots p_n в степени левая круглая скобка k_n правая круглая скобка , то количество его делителей равно  левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка . Отметим, что 2020=2 в квадрате умножить на 5 умножить на 101.

а) Возьмем полный куб  левая круглая скобка 2 в кубе умножить на 3 в степени левая круглая скобка 67 правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе = 2 в степени 9 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 201 правая круглая скобка . Это число имеет  левая круглая скобка 9 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 201 плюс 1 правая круглая скобка =2020 делителей.

б) Если бы число было полной четвертой степенью, то все числа k_1, k_2, \ldots были бы кратны 4, а потому  левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка было бы произведением нечетных чисел и, следовательно, нечетным числом. Но 2020 четно.

в) Число 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7 подходит. Докажем, что это наименьшее подходящее число. Очевидно, если поменять местами два простых основания степени в разложении числа, то меньше будет тот вариант, где меньшее простое возводится в бОльшую степень. Затем заменим меньшее простое на 2, следующее на 3 и так далее.

Если использовать в качестве степени двойки число, большее 100 (но такое, чтобы 2020 делилось на k плюс 1), то число будет равно как минимум

2 в степени левая круглая скобка 201 правая круглая скобка больше 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка больше 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 81 умножить на 35.

С другой стороны, минимум одно из чисел вида k плюс 1 в формуле для чиcла делителей должно быть кратно 101, и оно явно будет самым большим из множителей. Значит, в состав числа обязательно следует взять 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка . Тогда остальные множители должны давать выражение, равное 20. Возможны следующие варианты: 3 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка , 3 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на 5, 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 в кубе , 3 в степени 4 умножить на 5 умножить на 7. Последнее число меньше прочих:

3 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка больше 3 в степени 9 умножить на 5=3 в степени 4 умножить на 3 в степени 5 умножить на 5 больше 3 в степени 4 умножить на 25 умножить на 5=3 в степени 4 умножить на 5 в кубе больше 3 в степени 4 умножить на 35=3 в степени 4 умножить на 5 умножить на 7.

Ответ: а) да, б) нет, в) 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7.

 

Примечание.

Условие о том, что число не является 2020 степенью, не пригодилось. Если бы число А было можно было представить в виде A=n в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка , оно имело бы минимум 2021 делитель (1, n, n в квадрате , \ldots, n в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка ) или было бы равно 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение пункта а;

— обоснованное решение пункта б;

— оценка в пункте в;

— пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 329. (часть C).
Классификатор алгебры: Числа и их свойства