Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д16 C5 № 554419
i

В офис­ном стро­е­нии 8 эта­жей, на каж­дом из ко­то­рых, кроме пер­во­го, на­хо­дит­ся ка­би­нет на­чаль­ни­ка от­де­ла. Управ­ля­ю­щая жи­лищ­ная ком­па­ния объ­яви­ла, что в день про­фи­лак­ти­че­ско­го ре­мон­та лифта он сде­ла­ет всего один подъ­ем сразу всех на­чаль­ни­ков от­де­лов на один, ука­зан­ный ими, этаж. После подъ­ема на­чаль­ни­ки будут вы­нуж­де­ны идти в свои ка­би­не­ты по лест­ни­це.

В ка­че­стве ком­пен­са­ции за при­чи­нен­ные не­удоб­ства за каж­дый не­об­хо­ди­мый подъ­ем на оче­ред­ной этаж по лест­ни­це каж­до­му на­чаль­ни­ку будет на­чис­ле­но 200 руб­лей. За каж­дый ана­ло­гич­ный спуск  — 100 руб­лей. Этаж не­об­хо­ди­мо вы­брать так, чтобы общая сумма ком­пен­са­ций была ми­ни­маль­ной. Опре­де­ли­те в руб­лях эту сумму.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть лифт под­ни­мет­ся на этаж с но­ме­ром x, где 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 8, тогда на­верх будут под­ни­мать­ся 8 минус x на­чаль­ни­ков. Их ком­пен­са­ция со­ста­вит 200 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 8 минус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 8 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка руб­лей. Вниз будут спус­кать­ся x минус 2 на­чаль­ни­ка, их ком­пен­са­ция со­ста­вит 100 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 плюс x минус 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка руб­лей. Общая сумма ком­пен­са­ций будет равна

S левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =200 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 8 минус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 8 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 100 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 плюс x минус 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = 100 левая круг­лая скоб­ка 9 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 8 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 50 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =

=100x в квад­ра­те минус 1700x плюс 7200 плюс 50x в квад­ра­те минус 150x плюс 100 = 50 левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус 37x плюс 146 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Наи­мень­шее зна­че­ние квад­ра­тич­ной функ­ции S левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка до­сти­га­ет­ся в точке x_0= дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 3 конец дроби =6\tfrac16. Учи­ты­вая, что по смыс­лу за­да­чи x может при­ни­мать толь­ко це­ло­чис­лен­ные зна­че­ния, и что S левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =S левая круг­лая скоб­ка 6\tfrac26 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше S левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем, что общая сумма ком­пен­са­ций будет ми­ни­маль­на при x=6 и равна S левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =50 левая круг­лая скоб­ка 3 умно­жить на 6 в квад­ра­те минус 37 умно­жить на 6 плюс 146 пра­вая круг­лая скоб­ка =1600 руб­лей.

 

Ответ: 1600 руб­лей.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ3
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель, ре­ше­ние све­де­но к ис­сле­до­ва­нию этой мо­де­ли и по­лу­чен ре­зуль­тат:

– не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки;

– вер­ный ответ, но ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но

2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель, ре­ше­ние све­де­но к ис­сле­до­ва­нию этой мо­де­ли, при этом ре­ше­ние может быть не за­вер­ше­но1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 332. (часть C)