а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 4, бо­ко­вые рёбра равны 6. Точка M  — се­ре­ди­на ребра СС₁, на ребре BB₁ от­ме­че­на точка N, такая, что BN : NB₁  =  1 : 2.

а)  В каком от­но­ше­нии плос­кость AMN делит ребро DD₁?

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и AMN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­ты BB₁ и CC₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC до сто­ро­ны BC, если B₁C₁  =  12 и

В офис­ном стро­е­нии 8 эта­жей, на каж­дом из ко­то­рых, кроме пер­во­го, на­хо­дит­ся ка­би­нет на­чаль­ни­ка от­де­ла. Управ­ля­ю­щая жи­лищ­ная ком­па­ния объ­яви­ла, что в день про­фи­лак­ти­че­ско­го ре­мон­та лифта он сде­ла­ет всего один подъ­ем сразу всех на­чаль­ни­ков от­де­лов на один, ука­зан­ный ими, этаж. После подъ­ема на­чаль­ни­ки будут вы­нуж­де­ны идти в свои ка­би­не­ты по лест­ни­це.

В ка­че­стве ком­пен­са­ции за при­чи­нен­ные не­удоб­ства за каж­дый не­об­хо­ди­мый подъ­ем на оче­ред­ной этаж по лест­ни­це каж­до­му на­чаль­ни­ку будет на­чис­ле­но 200 руб­лей. За каж­дый ана­ло­гич­ный спуск  — 100 руб­лей. Этаж не­об­хо­ди­мо вы­брать так, чтобы общая сумма ком­пен­са­ций была ми­ни­маль­ной. Опре­де­ли­те в руб­лях эту сумму.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра па­ра­мет­ра а, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния.

На доске за­пи­са­ны числа 1, 2, 3, …, 27. За один ход раз­ре­ша­ет­ся сте­реть про­из­воль­ные три числа, сумма ко­то­рых мень­ше 31 и от­лич­на от каж­дой из сумм троек чисел, стер­тых на преды­ду­щих ходах.

а)  Можно ли сде­лать 4 хода?

б)  Можно ли сде­лать 9 ходов?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать?