ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 554420 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра параметра а, при которых система уравнений

$система выражений 5|x| плюс 12|y минус 2|=60,y в квадрате минус a в квадрате =4 левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка минус x в квадрате конец системы .$

имеет ровно четыре решения.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему:

Решим задачу графо-аналитическим способом. В системе координат xOy графиком первого уравнения является ромб с вершинами $A левая круглая скобка 0; 7 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка 0; минус 3 правая круглая скобка ,$ $C левая круглая скобка 12; 2 правая круглая скобка$ и $D левая круглая скобка минус 12; 2 правая круглая скобка .$ Графиком второго уравнения является окружность с центром в точке $E левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка$ и радиусом $r=|a|.$ Система имеет ровно четыре решения, в двух случаях.

1 случай. Окружность вписана в ромб (выделено красным). Тогда для прямоугольного треугольника AEC справедливо равенство

$AE умножить на EC= AC умножить на EH,$

где $AE=5,$ $EC=12,$ $AC=13.$ Тогда

$5 умножить на 12=13 умножить на |a| равносильно |a|= дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби равносильно a=\pm дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$

2 случай. Окружность пересекает каждую из сторон ромба ровно один раз (выделено зелёным). Это достигается, если $AE меньше r меньше EC,$ то есть при

$5 меньше |a| меньше 12 равносильно совокупность выражений минус 12 меньше a меньше минус 5,5 меньше a меньше 12. конец совокупности .$

Таким образом, система имеет ровно четыре решения, если $минус 12 меньше a меньше минус 5,$ $a=\pm дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби$ или $5 меньше a меньше 12.$

Ответ: $левая круглая скобка минус 12; минус 5 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби , дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 5; 12 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 332. (часть C)

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь