Ваня играет в игру. В начале игры на доске написано два различных натуральных числа от 1 до 9999. За один ход игры Ваня должен решить квадратное уравнение 
где p и q — взятые в выбранном Ваней порядке два числа, написанные к началу этого хода на доске, и, если это уравнение имеет два различных натуральных корня, заменить два числа на доске на эти корни. Если же это уравнение не имеет двух различных натуральных корней, Ваня не может сделать ход и игра прекращается.
а) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать не менее трёх ходов?
б) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать десять ходов?
в) Какое наибольшее число ходов может сделать Ваня при этих условиях?
а) Примером таких чисел являются 11 и 30. При первом ходе Ваня может решить уравнение 
и заменить числа на доске на его корни 5 и 6. При втором ходе Ваня может решить уравнение 
и заменить числа на доске на его корни 2 и 3. При третьем ходе Ваня может решить уравнение 
и заменить числа на доске на его корни 1 и 2.
б) Предположим, что такие числа существуют. Пусть перед началом k-го хода на доске написаны числа ak и 
где 
и 
Тогда по теореме Виета имеем либо 
либо 
В обоих случаях получаем 
и 
Поскольку при этом по теореме Виета либо 
либо 
получаем, что 
Аналогично получаем, что 
и 
Значит, 
и 
Это невозможно, так как единица — единственное натуральное число, меньшее 
Получаем противоречие.
в) Предположим, что для некоторых двух различных натуральных чисел от 1 до 9999 Ваня может сделать m ходов и 
Пусть перед началом k-го хода на доске написаны числа ak и где и 
Из условия следует, что после k-го хода на доске будут написаны числа, одно из которых не меньше 1, а второе — не меньше 2. Тогда одно из чисел 
bk не меньше 
а второе — не меньше 
Значит, 
и 
Аналогично получаем, что
и 
и 
и 
Полученное противоречие доказывает, что если в начале игры на доске написаны два различных натуральных числа от 1 до 9999, то Ваня не сможет сделать больше четырёх ходов.
Для чисел 41 и 330 Ваня сможет сделать четыре хода: на первом ходу он получит числа 11 и 30, на втором — 5 и 6, на третьем — 2 и 3, на четвёртом — 1 и 2. Значит, наибольшее число ходов, которое может сделать Ваня в условиях задачи, равно четырём.
Ответ: а) Да, например, 11 и 30; б) нет; в) 4.