Ваня играет в игру. В начале игры на доске написано два различных натуральных числа от 1 до 9999. За один ход игры Ваня должен решить квадратное уравнение 
где p и q — взятые в выбранном Ваней порядке два числа, написанные к началу этого хода на доске, и, если это уравнение имеет два различных натуральных корня, заменить два числа на доске на эти корни. Если же это уравнение не имеет двух различных натуральных корней, Ваня не может сделать ход и игра прекращается.
а) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать не менее двух ходов?
б) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать десять ходов?
в) Какое наибольшее число ходов может сделать Ваня при этих условиях?
получится пара 
а из нее пара 
Попробуем прокрутить процесс в обратную сторону.
то до нее были пары 
Поскольку 
на этом обратный ход заканчивается. Итак, может быть сделано 4 хода.
то 
Поэтому при любой другой начальной паре все числа, получаемые обратным ходом, будут не меньше тех, которые входят в нашу цепочку. Значит, и для них не получится сделать более 4 ходов.-------------
Дублирует задание № 527603.
Ваня играет в игру. В начале игры на доске написано два различных натуральных числа от 1 до 9999. За один ход игры Ваня должен решить квадратное уравнение где p и q — взятые в выбранном Ваней порядке два числа, написанные к началу этого хода на доске, и, если это уравнение имеет два различных натуральных корня, заменить два числа на доске на эти корни. Если же это уравнение не имеет двух различных натуральных корней, Ваня не может сделать ход и игра прекращается.
а) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать не менее трёх ходов?
б) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать десять ходов?
в) Какое наибольшее число ходов может сделать Ваня при этих условиях?
и заменить числа на доске на его корни 5 и 6. При втором ходе Ваня может решить уравнение 
и заменить числа на доске на его корни 2 и 3. При третьем ходе Ваня может решить уравнение 
и заменить числа на доске на его корни 1 и 2.
где 
и 
Тогда по теореме Виета имеем либо 
либо 
В обоих случаях получаем 
и 
Поскольку при этом по теореме Виета либо 
либо 
получаем, что 
Аналогично получаем, что 
и 
Значит, 
и 
Это невозможно, так как единица — единственное натуральное число, меньшее 
Получаем противоречие.
Пусть перед началом k-го хода на доске написаны числа ak и 
Из условия следует, что после k-го хода на доске будут написаны числа, одно из которых не меньше 1, а второе — не меньше 2. Тогда одно из чисел 
bk не меньше 
а второе — не меньше 
Значит, 
и 
Аналогично получаем, что
и 
и 
и 
