Дана окружность с центром в точке O и радиусом 5. Точка K делит диаметр AD в отношении 1 : 9, считая от точки D. Через точку K проведена хорда BC перпендикулярно диаметру AD. На меньшей дуге AB окружности взята точка M.
а) Докажите, что BM · CM < BA2.
б) Найдите площадь четырёхугольника ACBM, если дополнительно известно, что площадь треугольника BCM равна 24.
а) Площадь треугольника BMC меньше площади треугольника ABC, поскольку у них общая сторона BC, но высота, проведённая к этой стороне, у первого треугольника меньше. Пусть 
Тогда
б) Имеем
Проведём из точки M перпендикуляр MH к отрезку AD. Отрезок KH равен высоте треугольника BMC, проведённой из точки M. Значит, площадь треугольника BCM равна
откуда
Прямоугольные треугольники OKB и OHM равны по гипотенузе и катету, откуда 
а значит, KBMH — прямоугольник, 
Вписанный угол CBM прямой, значит, CM — диаметр окружности. Медиана AO делит треугольник ACM на два треугольника равной площади,
Значит,
Ответ: б) 39.