Точки E и F расположены соответственно на стороне ВС и высоте ВР остроугольного треугольника АВС так, что AP = 3, 
BE : EC = 10 : 1, а треугольник AEF является равносторонним.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки Е на АС делит отрезок АС в отношении 1 : 16, считая от вершины С.
б) Найдите площадь треугольника AEF.
а) Пусть H — проекция точки E на AC. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
Таким образом, 
поэтому
Что и требовалось доказать.
б) Пусть
Тогда из теоремы Пифагора получаем, что
Выразим из этой системы y через x. Имеем 
значит,
Отсюда 
то есть 
Окончательно получаем уравнение
Решая это уравнение, получаем что 
поэтому 
Для получения ответа заметим, что площадь равностороннего треугольника со стороной z равна 
Ответ: 
Приведем решение пункта б) Ирины Шраго.
Пусть K — точка пересечения отрезков BP и AE. В соответствии с пунктом а) 
Пусть 
тогда
В треугольнике AFK по теореме синусов
Тогда 
Из прямоугольного треугольника AFP получим 
Площадь равностороннего треугольника равна: 