а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На бо­ко­вых реб­рах SA и SB пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра SABC взяты точки E и F так, что

а)  До­ка­жи­те, что ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми CEF и ABC равен

б)  Най­ди­те пло­щадь про­ек­ции тре­уголь­ни­ка CEF на плос­кость ос­но­ва­ния АВС, если ребро тет­ра­эд­ра равно 9.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точки E и F рас­по­ло­же­ны со­от­вет­ствен­но на сто­ро­не ВС и вы­со­те ВР ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС так, что AP  =  3, BE : EC  =  10 : 1, а тре­уголь­ник AEF яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним.

а)  До­ка­жи­те, что ор­то­го­наль­ная про­ек­ция точки Е на АС делит от­ре­зок АС в от­но­ше­нии 1 : 16, счи­тая от вер­ши­ны С.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AEF.

15 июля пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит 75 тысяч руб­лей на 15 ме­ся­цев. Усло­вия по­га­ше­ния кре­ди­та та­ко­вы:

—  с 1‐⁠го по 10‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца банк уве­ли­чи­ва­ет долг, име­ю­щий­ся на 1‐⁠е число, на 7,5%;

—  с 11‐⁠го по 14‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  долг на 15‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15‐⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

Сколь­ко ме­ся­цев вы­пла­ты по по­га­ше­нию кре­ди­та будут мень­ше 6,25 ты­ся­чи руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно три раз­лич­ных ре­ше­ния.

Бес­ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия a₁, a₂, ..., a_n со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

а)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа де­лят­ся на 90?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₀ ровно 11 чисел де­лят­ся на 90?

в)  Для ка­ко­го наи­боль­ше­го на­ту­раль­но­го числа n могло ока­зать­ся так, что среди a₁, a₂, ..., a_3n боль­ше крат­ных 90, чем среди чисел a_3n + 1, a_3n + 2, ..., a_7n, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что раз­ность про­грес­сии равна 1?