Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 557244
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2|x| плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 7x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2|x| плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Не­ра­вен­ство имеет вид a минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби боль­ше 0 или a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби . Для по­ло­жи­тель­ных а такое не­ра­вен­ство верно, если a боль­ше 1. Если же зна­че­ния  а от­ри­ца­тель­ны, то они долж­ны быть боль­ше  −1. Итак,

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2|x| плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 1, минус 1 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2|x| плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что при x=0 не­ра­вен­ства не имеют смыс­ла. При x не равно 0 ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов боль­ше 1 и со­во­куп­ность при­ни­ма­ет вид

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 7x плюс 4 боль­ше 2|x| плюс 1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2|x| плюс 1 конец дроби мень­ше 7x плюс 4 мень­ше 1. конец со­во­куп­но­сти .

Решим пер­вое не­ра­вен­ство со­во­куп­но­сти. При x боль­ше 0 по­лу­ча­ем

си­сте­ма вы­ра­же­ний 7x плюс 4 боль­ше 2x плюс 1,x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x боль­ше 0.

При x мень­ше 0 по­лу­ча­ем

си­сте­ма вы­ра­же­ний 7x плюс 4 боль­ше минус 2x плюс 1,x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше x мень­ше 0.

Решим вто­рое не­ра­вен­ство со­во­куп­но­сти. При x боль­ше 0 по­лу­ча­ем, что 7x плюс 4 боль­ше 4, а зна­чит, не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний. При x мень­ше 0 по­лу­ча­ем

си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: минус 2x плюс 1 конец дроби мень­ше 7x плюс 4 мень­ше 1,x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: минус 14x в квад­ра­те минус x плюс 3, зна­ме­на­тель: минус 2x плюс 1 конец дроби боль­ше 0,7x мень­ше минус 3,x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: минус 2x плюс 1 конец дроби мень­ше 0,x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс 1 боль­ше 0,x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­ча­ем ответ.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 336
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Не­ра­вен­ства с мо­ду­ля­ми, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025