ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 557247 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при которых система уравнений

$система выражений |x минус 1| плюс |x плюс 1| минус 2y=0,x в квадрате плюс y в квадрате минус 2ay плюс 2a=1 конец системы .$

имеет ровно три различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Решим задачу графо-аналитическим способом. Первое уравнение системы на плоскости xOy задаёт ломаную

$y= система выражений x, при x\geqslant1,1, при минус 1 меньше x меньше 1, минус x, при x\leqslant минус 1. конец системы .$

Второе уравнение системы

$x в квадрате плюс y в квадрате минус 2ay плюс 2a=1 равносильно x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате$

на плоскости xOy задаёт окружность c центром в точке $левая круглая скобка 0; a правая круглая скобка$ и радиусом $r=|a минус 1|,$ при $a =1$ вырождающуюся в точку $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка .$

При $a=1$ система имеет единственное решение $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка .$ Заметим, что при любом значении параметра a расстояние от центра окружности $левая круглая скобка 0; a правая круглая скобка$ до прямой $y=1$ равно радиусу окружности. При $a меньше 1$ центр окружности находится ниже ломаной, значит, система также имеет единственное решение $левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка .$ При $a больше 1$ система может иметь одно, три или пять решений. Три решения система имеет, если окружность касается лучей прямых $y=x,$ $y= минус x$ и отрезка прямой $y=1,$ то есть если расстояние от центра окружности до прямых (в частности, до прямой $x плюс y=0$ ) равно радиусу окружности. Воспользуемся формулой расстояния от точки $левая круглая скобка 0; a правая круглая скобка$ до прямой $x плюс y=0:$

$дробь: числитель: |0 плюс a|, знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 плюс 1 конец аргумента конец дроби =|a минус 1| \underseta больше 1\mathop равносильно дробь: числитель: a, знаменатель: корень из 2 конец дроби =a минус 1 равносильно a= корень из 2 a минус корень из 2 равносильно a=2 плюс корень из 2 .$

Значит, система имеет ровно три различных решения при $a=2 плюс корень из 2 .$

Ответ: $левая фигурная скобка 2 плюс корень из 2 правая фигурная скобка .$

Примечание.

Дополнительно отметим, что при $a меньше 2 плюс корень из 2$ система имеет одно решение, а при $a больше 2 плюс корень из 2$   — пять решений.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 336

Классификатор алгебры: Системы с параметром, Уравнение окружности

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь