Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, ..., an состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, ..., a7 ровно три числа делятся на 90?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, ..., a40 ровно 11 чисел делятся на 90?
в) Для какого наибольшего натурального числа n могло оказаться так, что среди a1, a2, ..., a3n больше кратных 90, чем среди чисел a3n + 1, a3n + 2, ..., a7n, если дополнительно известно, что разность прогрессии равна 1?
а) Да, например, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270.
б) Нет. Выберем два соседних члена прогрессии, кратных 90. Пусть это an и 
а разность прогрессии равна d. Тогда 
поэтому kd кратно 90. Если 
то среди любых четырех членов прогрессии подряд максимум один кратен 90, если же 
то среди любых трех членов прогрессии подряд есть кратный 90. В первом случае среди 40 членов их не более 10, во втором — не менее 13.
в) В прогрессии кратные 90 числа попадаются один раз на 90 членов. Среди 3n чисел их будет не более 
а среди 4n чисел — не менее 
откуда 
и 
Значит, среди 3n чисел не более трех кратны 90. Поэтому 
и 
Можно взять 
и прогрессию, у которой 
кратно 90. Например, 
тогда среди чисел 
попадутся 90, 180, 270, а среди чисел 
попадутся 360 и 450 и все.
Ответ: а) да, б) нет, в) 67.