Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 558010
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2021 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус в сте­пе­ни 4 x плюс ко­си­нус в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2020 плюс левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус синус 2x конец ар­гу­мен­та .

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2020 пра­вая круг­лая скоб­ка 4080400 конец дроби ; 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2021 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2010 плюс \lg10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни П и пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что

левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус синус 2x = синус в квад­ра­те x плюс 2 синус x ко­си­нус x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус 2x = 1,

а по­то­му под кор­нем в пра­вой части стоит число 2021. Тогда урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

2021 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус в сте­пе­ни 4 x плюс ко­си­нус в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка x минус \tfrac Пи пра­вая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =2021 в сте­пе­ни tfrac14},

от­ку­да

синус в сте­пе­ни 4 x плюс ко­си­нус в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

При­ме­ним фор­му­лы по­ни­же­ния по­ряд­ка, упро­стим вы­ра­же­ние, затем вве­дем вспо­мо­га­тель­ный угол:

левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x минус \tfrac Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 1 плюс синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 1 минус 2 ко­си­нус 2x плюс ко­си­нус в квад­ра­те 2x плюс 1 плюс 2 синус 2x плюс синус в квад­ра­те 2x=1 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 конец дроби ко­си­нус 2x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 конец дроби синус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 конец дроби рав­но­силь­но 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,2x=2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k,x= Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  За­ме­тим, что

минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2020 пра­вая круг­лая скоб­ка 4080400 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2021 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2010 плюс \lg10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 11 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни П и =3 Пи .

Те­перь отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. По­лу­чим минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , 0, дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , Пи , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , 2 Пи , дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , 3 Пи .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , 0, дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , Пи , дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , 2 Пи , дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , 3 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 337
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026