а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 2021. На реб­рах AD и В₁С₁ взяты со­от­вет­ствен­но точки М и Q, а на ребре CD  — точки P и N так, что

а)  До­ка­жи­те, что тан­генс угла между пря­мы­ми MP и QN равен

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми МР и QN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках А и K так, что их цен­тры рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой, со­дер­жа­щей от­ре­зок  АK. Точки В и С лежат на раз­ных окруж­но­стях. Пря­мая, со­дер­жа­щая от­ре­зок  АВ, ка­са­ет­ся одной окруж­но­сти в точке  А. Пря­мая, со­дер­жа­щая от­ре­зок АС, ка­са­ет­ся дру­гой окруж­но­сти также в точке А.

а)  До­ка­жи­те, что углы AKC и AKB равны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если BK  =  1, CK  =  4, а тан­генс угла САВ равен

Мороз Ива­но­вич для по­куп­ки но­во­год­них по­дар­ков пла­ни­ру­ет в де­каб­ре взять кре­дит на целое число тысяч руб­лей на че­ты­ре года на сле­ду­ю­щих усло­ви­ях:

—  в июле каж­до­го года дей­ствия кре­ди­та долг Мо­ро­за Ива­но­ви­ча воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с на­ча­лом года;

—  в конце пер­во­го и тре­тье­го годов Мороз Ива­но­вич вы­пла­чи­ва­ет толь­ко про­цен­ты по кре­ди­ту, на­чис­лен­ные за со­от­вет­ству­ю­щий те­ку­щий год;

—  в конце вто­ро­го и чет­вер­то­го годов Мороз Ива­но­вич вы­пла­чи­ва­ет оди­на­ко­вые суммы, по­га­шая к концу чет­вер­то­го года весь долг пол­но­стью.

Най­ди­те наи­мень­ший раз­мер кре­ди­та в тыс. руб., при ко­то­ром общая сумма вы­плат пре­вы­сит 2021 тыс. руб.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два ре­ше­ния.

Дана бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, в ко­то­рой k‐⁠й член за­да­ет­ся фор­му­лой a_k  =  2k − 1, где k ∈ N, k ≥ 1. Далее рас­смат­ри­ва­ют­ся суммы не­сколь­ких (не менее двух) сла­га­е­мых из не­ко­то­ро­го на­бо­ра иду­щих под­ряд чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти. Может ли такая сумма быть рав­ной:

а)  2021?

б)  289?

в)  квад­ра­ту на­ту­раль­но­го числа?

г)  кубу на­ту­раль­но­го числа?