Две окружности пересекаются в точках А и K так, что их центры расположены по разные стороны от прямой, содержащей отрезок АK. Точки В и С лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая отрезок АВ, касается одной окружности в точке А. Прямая, содержащая отрезок АС, касается другой окружности также в точке А.
а) Докажите, что углы AKC и AKB равны.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если BK = 1, CK = 4, а тангенс угла САВ равен 
а) По теореме об угле между касательной и хордой находим, что 
Аналогично 
Таким образом,
Что и требовалось доказать.
б) По условию 
значит,
тогда 
Из подобия треугольников AKC и AKB получаем, что 
Отсюда 
и коэффициент подобия равен 2.
Заметим теперь, что 
Значит, 
Запишем теорему косинусов для треугольника AKC:
Далее, 
тогда 
откуда находим площадь треугольника ABC:
Ответ: 