Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 558016

Дана бесконечная последовательность натуральных чисел, в которой k‐й член задается формулой ak = 2k − 1, где k ∈ N, k ≥ 1. Далее рассматриваются суммы нескольких (не менее двух) слагаемых из некоторого набора идущих подряд членов этой последовательности. Может ли такая сумма быть равной:

а) 2021?

б) 289?

в) квадрату натурального числа?

г) кубу натурального числа?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что заданная последовательность — арифметическая прогрессия 1, 3, 5, ..., состоящая из нечетных чисел. Из формулы для суммы членов арифметической прогрессии следует, что сумма k её первых членов равна k2: S_2k минус 1 = 1 плюс 3 плюс 5 плюс \ldots плюс левая круглая скобка 2k минус 1 правая круглая скобка =k в квадрате . Это позволяет утвердительно ответить на вопрос в пункта в) и пункта б), поскольку 289 это квадрат 17.

Далее, 2021=2025 минус 4=45 в квадрате минус 1 минус 3=5 плюс 7 плюс 9 плюс \ldots плюс 89, поэтому в пункте а) тоже ответ да.

Наконец, прибавляя к каждому из k чисел 1, 3, ..., 2k минус 1 четное число k в квадрате минус k, мы увеличиваем сумму на k левая круглая скобка k в квадрате минус k правая круглая скобка и она становится k в квадрате плюс k левая круглая скобка k в квадрате минус k правая круглая скобка =k в кубе  — точному кубу.

Таким образом, ответ на все вопросы — да. Дополнительно отметим, что в силу приведённых построений сумма таких слагаемых может быть равна квадрату или кубу любого натурального числа, кроме 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов аг1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 337.