Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все зна­че­ния а, при ко­то­рых урав­не­ние

a в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x минус 2021 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =|a минус x плюс 2021| минус |a плюс x минус 2021|

имеет ровно два ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть x минус 2021=t, тогда каж­до­му зна­че­нию пе­ре­мен­ной x со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние пе­ре­мен­ной t, а ис­ход­ное урав­не­ние и урав­не­ние

a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те =|a минус t| минус |a плюс t|

имеют оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство кор­ней.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, рас­крыв мо­ду­ли:

a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те =|a минус t| минус |a плюс t| рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те плюс |a плюс t|=|a минус t| рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те плюс |a плюс t|=a минус t,a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те плюс |a плюс t|=t минус a конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний a плюс t\geqslant0, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те плюс a плюс t=a минус t,a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те плюс a плюс t=t минус a, конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . си­сте­ма вы­ра­же­ний a плюс t мень­ше 0, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те минус a минус t=a минус t,a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те минус a минус t=t минус a конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний a\geqslant минус t, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те плюс 2t плюс 1=1,a в квад­ра­те плюс 2a плюс 1 плюс t в квад­ра­те =1, конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . си­сте­ма вы­ра­же­ний a мень­ше минус t, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 плюс t в квад­ра­те =1,a в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те минус 2t плюс 1=1 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний a\geqslant минус t, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те =1,t в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1, конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . си­сте­ма вы­ра­же­ний a мень­ше минус t, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1, левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те =1. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти .

 

Гра­фи­ком этой со­во­куп­но­сти в си­сте­ме ко­ор­ди­нат tOa будут дуги окруж­но­стей с ра­ди­у­са­ми 1 и цен­тра­ми в точ­ках левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , левая круг­лая скоб­ка 0; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и левая круг­лая скоб­ка 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Изоб­ра­зим их на чер­те­же.

Из по­стро­ен­но­го чер­те­жа на­хо­дим, что при |a| боль­ше 1 по­лу­чен­ная со­во­куп­ность, а зна­чит, и ис­ход­ное урав­не­ние ре­ше­ний не имеют, при 0 мень­ше |a| мень­ше 1  — имеют два ре­ше­ния, при |a|=1 и a=0  — имеют одно ре­ше­ние.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной.2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 337
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Ис­поль­зо­ва­ние кос­вен­ных ме­то­дов, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026