Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 2021. На ребрах AD и В1С1 взяты соответственно точки М и Q, а на ребре CD — точки P и N так, что 
а) Докажите, что тангенс угла между прямыми MP и QN равен 
б) Найдите расстояние между прямыми МР и QN.
а) Обозначим ребро куба через a. Через точку N проведём прямую NM' параллельную MP, точка M' лежит на ребре AD. Тогда искомый угол равен углу M'NQ. Найдём его из треугольника M'NQ. Так как NM' параллельна MP и 
то 
Откуда
Запишем теорему косинусов для треугольника M'NQ:
Тогда 
Откуда тангенс угла меду прямыми MP и NQ равен 
б) Через точку N построим сечение куба 
параллельное ребру 
и диагонали BD. Прямая MP лежит в основании ABCD и перпендикулярна BD, следовательно, прямая MP перпендикулярна плоскости 
Пусть P' — точка пересечения MP и NR, тогда P' — проекция MP на плоскость Из точки Q опустим перпендикуляр QQ' на отрезок 
кроме того, QQ' перпендикулярна 
следовательно, Q' — проекция Q на плоскость 
а NQ' — проекция прямой NQ на ту же плоскость. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между проекциями этих прямых на плоскость, перпендикулярную одной из них, следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки P' до прямой NQ'.
В сечении отрезок 
Так как прямая MP параллельна прямым QQ' и AC, а прямая NR параллельна прямым 
и BD, то PP'N и 
— два равных равнобедренных прямоугольных треугольника, в которых 
откуда 
Проведём прямую 
параллельную прямой 
и пусть K — точка пересечения и NQ'. Тогда искомое расстояние — высота P'H прямоугольного треугольника P'NK. Имеем
следовательно, так как треугольник P'NK подобен треугольнику 
имеем:
Ответ: 