Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1С1 сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 5, бо­ко­вые ребра равны 15, точка D  — се­ре­ди­на ребра CC1.

а)  Пусть пря­мые BD и B1C1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что угол EA1B1  — пря­мой.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми A1B1С1 и BDA1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки BDC и EDC1 равны, сле­до­ва­тель­но, EC1  =  B1C1  =  A1C1, то есть в тре­уголь­ни­ке A1B1E ме­ди­а­на A1C1 равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой про­ве­де­на. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник A1B1E  — пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом EA1B1.

б)  Пря­мая A1E  — линия пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей BDA1 и A1B1C1. Так как A1B1 яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей BA1 на плос­кость A1B1C1 и A1B1 пер­пен­ди­ку­ляр­на EA1, то по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах BA1 пер­пен­ди­ку­ляр­на EA1 и угол BA1B1 яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом ис­ко­мо­го угла. Тогда

тан­генс \angle BA_1B_1= дробь: чис­ли­тель: BB_1, зна­ме­на­тель: A_1B_1 конец дроби =3.

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен

\angle BA_1B_1= арк­тан­генс 3.

Ответ: б) арк­тан­генс 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 344
Методы геометрии: Свой­ства ме­ди­ан, Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Дву­гран­ный угол, ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Угол между плос­ко­стя­ми, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025