ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 560435 Добавить в вариант

Последовательность задана рекуррентным способом: a₁  =  1, a₂  =  2, $a_n плюс 2= дробь: числитель: a_n, знаменатель: a_n плюс 1 конец дроби .$ Найдите:

а)  сумму пяти первых членов этой последовательности;

б)   $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка a_20 правая круглая скобка ;$

в)  произведение двадцати первых членов этой последовательности.

Спрятать решение

Решение.

а)  Последовательно вычислим $a_3= дробь: числитель: a_1, знаменатель: a_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a_4= дробь: числитель: a_2, знаменатель: a_3 конец дроби =4,$ $a_5= дробь: числитель: a_3, знаменатель: a_4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,$ откуда сумма первых пяти членов равна

$1 плюс 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби = целая часть: 7, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 .$

б)  Обозначим $b_n= логарифм по основанию 2 a_n.$ Заметим, что $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка a_n плюс 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка a_n правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка a_n плюс 1 правая круглая скобка ,$ и при этом $логарифм по основанию 2 a_1=0$ и $логарифм по основанию 2 a_2=1.$ Тогда имеем:

$b_3=0 минус 1= минус 1,$ $b_4=1 минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =2,$

$b_5= минус 1 минус 2= минус 3,$ $b_6=2 минус левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =5,$

$b_7= минус 3 минус 5= минус 8,$ $b_8=5 минус левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка =13,$

$b_9= минус 8 минус 13= минус 21,$ $b_10=13 минус левая круглая скобка минус 21 правая круглая скобка =34,$

$b_11= минус 21 минус 34= минус 55,$ $b_12=34 минус левая круглая скобка минус 55 правая круглая скобка =89,$

$b_13= минус 55 минус 89= минус 144,$ $b_14=89 минус левая круглая скобка минус 144 правая круглая скобка =233,$

$b_15= минус 144 минус 233= минус 377,$ $b_16=233 минус левая круглая скобка минус 377 правая круглая скобка =610,$

$b_17= минус 377 минус 610= минус 987,$ $b_18=610 минус левая круглая скобка минус 987 правая круглая скобка =1597,$

$b_19= минус 987 минус 1597= минус 2584,$ $b_20=1597 минус левая круглая скобка минус 2584 правая круглая скобка =4181.$

в)  Поскольку $a_i=2 в степени левая круглая скобка b_i правая круглая скобка ,$ можно вычислить сумму b_i и возвести 2 в полученную степень. Кроме того, $b_n плюс 2 плюс b_n плюс 1=b_n,$ поэтому

$b_1 плюс b_2 плюс левая круглая скобка b_3 плюс b_4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b_5 плюс b_6 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b_7 плюс b_8 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка b_19 плюс b_20 правая круглая скобка =b_1 плюс b_2 плюс b_2 плюс b_4 плюс b_6 плюс \ldots плюс b_18=$ $b_1 плюс b_2 плюс левая круглая скобка b_3 плюс b_4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b_5 плюс b_6 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b_7 плюс b_8 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка b_19 плюс b_20 правая круглая скобка =$
$=b_1 плюс b_2 плюс b_2 плюс b_4 плюс b_6 плюс \ldots плюс b_18=$

$=0 плюс 1 плюс 1 плюс 2 плюс 5 плюс 13 плюс 34 плюс 89 плюс 233 плюс 610 плюс 1597=2585.$

Искомое произведение равно 2²⁵⁸⁵.

Ответ: а)   $целая часть: 7, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 ;$ б)  4181; в)  2²⁵⁸⁵.

Примечание Владислава Франка (Санкт-Петербург).

Нетрудно заметить, что последовательность представляет собой последовательность Фибоначчи (без первой единицы) с чередованием знаков. Если в условии поменять числитель со знаменателем местами, то есть при $a_n плюс 2= дробь: числитель: a_n, знаменатель: a_n плюс 1 конец дроби ,$ последовательность была бы периодической с периодом 6: 1, 2, 2, 1, $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ 1, ..., а задача была бы интереснее.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а  — г.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 344

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии, Числа и их свойства

Методы алгебры: Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь