Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 560435

Последовательность задана рекуррентным способом: a1 = 1, a2 = 2, a_n плюс 2= дробь: числитель: a_n, знаменатель: a_n плюс 1 конец дроби . Найдите:

а) сумму пяти первых членов этой последовательности;

б)  логарифм по основанию 2 левая круглая скобка a_20 правая круглая скобка ;

в) произведение двадцати первых членов этой последовательности.

Спрятать решение

Решение.

а) Последовательно вычислим a_3= дробь: числитель: a_1, знаменатель: a_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , a_4= дробь: числитель: a_2, знаменатель: a_3 конец дроби =4, a_5= дробь: числитель: a_3, знаменатель: a_4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , откуда сумма первых пяти членов равна

1 плюс 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби = целая часть: 7, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 .

б) Обозначим b_n= логарифм по основанию 2 a_n. Заметим, что  логарифм по основанию 2 левая круглая скобка a_n плюс 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка a_n правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка a_n плюс 1 правая круглая скобка , и при этом  логарифм по основанию 2 a_1=0 и  логарифм по основанию 2 a_2=1. Тогда имеем:

b_3=0 минус 1= минус 1, b_4=1 минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =2,

b_5= минус 1 минус 2= минус 3, b_6=2 минус левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =5,

b_7= минус 3 минус 5= минус 8, b_8=5 минус левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка =13,

b_9= минус 8 минус 13= минус 21, b_10=13 минус левая круглая скобка минус 21 правая круглая скобка =34,

b_11= минус 21 минус 34= минус 55, b_12=34 минус левая круглая скобка минус 55 правая круглая скобка =89,

b_13= минус 55 минус 89= минус 144, b_14=89 минус левая круглая скобка минус 144 правая круглая скобка =233,

b_15= минус 144 минус 233= минус 377, b_16=233 минус левая круглая скобка минус 377 правая круглая скобка =610,

b_17= минус 377 минус 610= минус 987, b_18=610 минус левая круглая скобка минус 987 правая круглая скобка =1597,

b_19= минус 987 минус 1597= минус 2584, b_20=1597 минус левая круглая скобка минус 2584 правая круглая скобка =4181.

 

в) Поскольку a_i=2 в степени левая круглая скобка b_i правая круглая скобка , можно вычислить сумму bi и возвести 2 в полученную степень. Кроме того, b_n плюс 2 плюс b_n плюс 1=b_n, поэтому

b_1 плюс b_2 плюс левая круглая скобка b_3 плюс b_4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b_5 плюс b_6 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка b_7 плюс b_8 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка b_19 плюс b_20 правая круглая скобка =b_1 плюс b_2 плюс b_2 плюс b_4 плюс b_6 плюс \ldots плюс b_18=

=0 плюс 1 плюс 1 плюс 2 плюс 5 плюс 13 плюс 34 плюс 89 плюс 233 плюс 610 плюс 1597=2585.

Искомое произведение равно 22585.

 

Ответ: а)  целая часть: 7, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 ; б) 4181; в) 22585.

 

Примечание Владислава Франка (Санкт-Петербург).

Нетрудно заметить, что последовательность представляет собой последовательность Фибоначчи (без первой единицы) с чередованием знаков. Если в условии поменять числитель со знаменателем местами, то есть при a_n плюс 2= дробь: числитель: a_n, знаменатель: a_n плюс 1 конец дроби , последовательность была бы периодической с периодом 6: 1, 2, 2, 1,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , 1, ..., а задача была бы интереснее.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов аг1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 344.
Методы алгебры: Перебор случаев