Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 562077

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.

Решение.

а) Известно, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, является осью его симметрии.

Рассмотрим треугольники ABK и CBP: угол ABK — общий, стороны AB и CB равны, углы BAK и BCP равны как половины равных углов при основании равнобедренного треугольника. Значит, треугольники ABK и CBP равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда отрезки AK и CP равны.

При симметрии относительно прямой BM точки K и P переходят друг в друга, точка M  — сама в себя. Следовательно, отрезки MP и MK перейдут друг на друга. Значит, отрезки MP и MK равны.

б) Из рассмотренной симметрии также следует: BH — ось симметрии треугольника PBK, MH — ось симметрии треугольника PHM. Точка H находится на пересечении прямых BM и PK.

Пусть AB = BC = a, угол BAC = α. В прямоугольном треугольнике ABM: AM = a косинус \alpha, BM =  a синус \alpha, AC = 2a косинус \alpha, SABM = 32. Это с одной стороны. С другой стороны,

S_{ABM}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 a умножить на a синус \alpha умножить на синус ({{90} в степени \circ } минус \alpha )= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 {{a} в степени 2 } синус \alpha умножить на косинус \alpha = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 {{a} в степени 2 } синус 2\alpha.

Следовательно,  дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 {{a} в степени 2 } синус 2\alpha =32. Тогда {{a} в степени 2 }= дробь, числитель — 128, знаменатель — синус 2\alpha .

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:  дробь, числитель — AC, знаменатель — AP = дробь, числитель — BC, знаменатель — BP . Пусть BP = x, AP =  x, тогда

 дробь, числитель — 2a косинус \alpha , знаменатель — a минус x = дробь, числитель — a, знаменатель — x ,

2x косинус x плюс x = a,

получим x= дробь, числитель — a, знаменатель — 2 косинус x плюс 1 .

Треугольники PBH и ABM подобны как два прямоугольных треугольника с общим острым углом. Коэффициент подобия:

k= дробь, числитель — BP, знаменатель — AB = дробь, числитель — a, знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 :a = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 .

Найдем площадь треугольника PBH:

S_{PBH}={{k} в степени 2 }S_{ABM} = дробь, числитель — 1, знаменатель — {{(2 косинус \alpha плюс 1) в степени 2 }} умножить на 32 = дробь, числитель — 32, знаменатель — 2,56 = 12,5.

Вычислим длину отрезка AP:

AP = AB минус x = a минус дробь, числитель — a, знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 = a умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — 2 косинус \alpha плюс 1 минус 1, знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 правая круглая скобка = дробь, числитель — 2a косинус \alpha , знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 .

Площадь треугольника APM будет равна

S_{APM}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 2a косинус \alpha , знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 умножить на a косинус \alpha умножить на синус \alpha = дробь, числитель — {{a} в степени 2 } косинус \alpha умножить на синус 2\alpha , знаменатель — 2(2 косинус \alpha плюс 1) .

Так как {{a} в степени 2 } = дробь, числитель — 128, знаменатель — синус 2\alpha , то:

S_{APM} = дробь, числитель — 128, знаменатель — синус 2\alpha умножить на дробь, числитель — косинус \alpha умножить на синус 2\alpha , знаменатель — 2(2 косинус \alpha плюс 1) = дробь, числитель — 64 косинус \alpha , знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 = дробь, числитель — 64 умножить на 0,3, знаменатель — 0,6 плюс 1 = дробь, числитель — 64 умножить на 0,3, знаменатель — 1,6 = 40 умножить на 0,3 = 12.

Поскольку площадь треугольника KMP равна двум площадям PMH, найдем последнюю:

S_{PMH} = S_{ABM} минус S_{PBH} минус S_{APM} = 32 минус 12,5 минус 12 = 7,5.

Таким образом, площадь треугольника KMP:

S_{KMP} = 2S_{PMH} = 15.

 

Ответ: б) 15.


Аналоги к заданию № 562077: 508612 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106.