Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 562950
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус в кубе x плюс ко­си­нус в кубе x= синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

синус в кубе x плюс ко­си­нус в кубе x= синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус x ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

За­ме­тим, что

левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1 плюс 2 синус x ко­си­нус x рав­но­силь­но синус x ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Под­ста­вив в урав­не­ние, по­лу­чим

левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = 1 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Сде­лав за­ме­ну t= синус x плюс ко­си­нус x, по­лу­чим урав­не­ние

t левая круг­лая скоб­ка 3 минус t в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =2 рав­но­силь­но t в кубе минус 3t плюс 2=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=1,t= минус 2. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом,

синус x плюс ко­си­нус x=1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­си­нус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2 Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дит дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

синус в кубе x плюс ко­си­нус в кубе x= синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но синус в кубе x минус синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в кубе минус ко­си­нус в квад­ра­те x =0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но синус в квад­ра­те x левая круг­лая скоб­ка синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус в квад­ра­те x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0.

За­ме­тим, что синус x минус 1 мень­ше или равно 0 и ко­си­нус x минус 1 мень­ше или равно 0 при любом x, сле­до­ва­тель­но, оба сла­га­е­мых не боль­ше 0, по­это­му их сумма может быть равна 0, толь­ко если сла­га­е­мые од­но­вре­мен­но равны 0:

си­сте­ма вы­ра­же­ний синус в квад­ра­те x левая круг­лая скоб­ка синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, ко­си­нус в квад­ра­те x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 конец си­сте­мы рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x=0, синус x=1 конец си­сте­мы со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0, ко­си­нус x=1 конец со­во­куп­но­сти конец со­во­куп­но­сти рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2 Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 354
Классификатор алгебры: Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия, Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Све­де­ние к од­но­род­но­му, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026