а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре SABC точка M  — се­ре­ди­на ребра AB, а точка N рас­по­ло­же­на на ребре SC так, что SN : NC  =  3 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти SMC и ANB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если длина ребра AB равна 8.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Стре­лок в тире стре­ля­ет по ми­ше­ням. По каж­дой он стре­ля­ет до тех пор, пока не по­ра­зит её. При каж­дом от­дель­ном вы­стре­ле стре­лок по­па­да­ет в ми­шень с ве­ро­ят­но­стью 0,05. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся вы­стре­лов, чтобы по­ра­зить две ми­ше­ни? Най­ди­те ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние этой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны.

Стра­хо­вая ком­па­ния по­ло­жи­ла в банк не­ко­то­рую сумму денег под 10% го­до­вых для обес­пе­че­ния стра­хо­вых вы­плат. Ка­ко­ва была эта сумма (в руб­лях), если она ока­за­лась пол­но­стью ис­тра­че­на за три года на сле­ду­ю­щие вы­пла­ты: 880 000 руб­лей в конце пер­во­го года, 605 000 руб­лей в конце вто­ро­го года и 1 331 000 руб­лей в конце тре­тье­го года (все вы­пла­ты про­из­во­ди­лись после на­чис­ле­ния бан­ком про­цен­тов).

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния.

По кругу за­пи­са­но не­сколь­ко (два и более) раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Каж­дое число или в три раза боль­ше со­сед­не­го слева числа, или на два мень­ше.

а)  Могут ли быть вы­пи­са­ны и число 5, и число 6?

б)  Могут ли быть вы­пи­са­ны ровно семь чисел?

в)  Какое мак­си­маль­ное зна­че­ние может иметь наи­боль­шее из вы­пи­сан­ных чисел, если сумма всех вы­пи­сан­ных чисел не пре­вос­хо­дит 2021?