Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 562951
i

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре SABC точка M  — се­ре­ди­на ребра AB, а точка N рас­по­ло­же­на на ребре SC так, что SN : NC  =  3 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти SMC и ANB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если длина ребра AB равна 8.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SMC (по­сколь­ку пря­мая SM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB и пря­мая CM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB). Плос­кость ANB про­хо­дит через пря­мую AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ную плос­ко­сти SMC, сле­до­ва­тель­но, плос­кость ANB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SMC.

б)  Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник SMC. В нём MC=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , SC  =  8, от­ку­да ко­си­нус \angle SCM= дробь: чис­ли­тель: \tfracSC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . За­ме­тим, что NC  =  2. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MNC:

MN в квад­ра­те =MC в квад­ра­те плюс NC в квад­ра­те минус 2MС умно­жить на NC умно­жить на ко­си­нус \angle SCM= левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =36 рав­но­силь­но MN=6.

Ответ: б) 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 354
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пер­пен­ди­ку­ляр­ность плос­ко­стей, Пра­виль­ный тет­ра­эдр
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026