Натуральные числа от 1 до n в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, что сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:
а) при n = 7;
б) при n = 12;
в) при n = 2015?
а) Ясно, что в паре с числом 7 может быть только число 2, в паре с числом 6 только число 3 и в паре с числом 5 только число 4. Значит, последнюю пару составят две единицы, но 1 + 1 не будет точным квадратом.
б) Это возможно, если взять в пары числа 1 + 3, 2 + 2, 3 + 1 и 12 + 4, 11 + 5, ..., 4 + 12.
в) Подберем число a так, чтобы числа a + 1 и a + 1 + 2015 были точными квадратами. Тогда можно будет разбить на пары все числа от 1 до a, где в каждой паре сумма a + 1, и все остальные числа, где в каждой паре сумма a + 2016.
Из уравнений 
и 
получим 
то есть 
Пусть, например, y − x = 31 и y + x = 65, откуда y = 48 и x = 17, a = 288.
Ответ: а) нет; б) да; в) да.