Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 620972
i

На сто­ро­не KM ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка PKM (PK ≠ PM) как на диа­мет­ре по­стро­е­на по­лу­окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая вы­со­ту PS в точке T, PS  =  8, TS  =  6, H  — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка PKM.

а)  Най­ди­те PH.

б)   По­лу­окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны PK и PM в точ­ках L и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия тре­уголь­ни­ков PKM и PNL, если ра­ди­ус по­лу­окруж­но­сти равен 20.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  До­стро­им по­лу­окруж­ность до окруж­но­сти. Пусть пря­мая PT вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет эту окруж­ность в точке B. По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии се­ку­щей на её внеш­нюю часть по­лу­ча­ем, что PT умно­жить на PB=PL умно­жить на PK. Тре­уголь­ни­ки PHL и PKS по­доб­ны по двум углам, по­это­му PH:PK=PL:PS, от­ку­да PL умно­жить на PK=PH умно­жить на PS. Таким об­ра­зом, PH умно­жить на PS=PT умно­жить на PB, то есть PH умно­жить на 8= левая круг­лая скоб­ка 8 минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 8 плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка . От­сю­да PH  =  3,5.

б)  По тео­ре­ме си­ну­сов диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка PKM, равен дробь: чис­ли­тель: KM, зна­ме­на­тель: синус P конец дроби . Диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка PNL,  — это от­ре­зок PH. По­это­му ис­ко­мый ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен дробь: чис­ли­тель: KM, зна­ме­на­тель: PH синус P конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 80, зна­ме­на­тель: 7 синус P конец дроби . C дру­гой сто­ро­ны, ис­ко­мый ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен дробь: чис­ли­тель: PM, зна­ме­на­тель: PL конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус P конец дроби . По­лу­ча­ем ра­вен­ство: дробь: чис­ли­тель: 80, зна­ме­на­тель: 7 синус P конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус P конец дроби . От­сю­да тан­генс P= дробь: чис­ли­тель: 80, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . Тогда

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те P конец дроби = 1 плюс тан­генс в квад­ра­те P=1 плюс дробь: чис­ли­тель: 6400, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6449, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби .

Зна­чит, ис­ко­мый ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6449 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6449 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 363
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих, Тео­ре­ма си­ну­сов, Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025