Вова задумал натуральное число а и посчитал сумму его цифр, эту сумму он обозначил b. Затем он посчитал сумму цифр числа b и обозначил ее через с. Оказалось, что среди чисел a, b и с нет одинаковых.
а) Может ли a + b + c = 3000?
б) Может ли a + b + c = 2000?
в) Сколько существует четырехзначных чисел а, для которых c = 4?
а) Да. Например, пусть a = 2974, тогда b = 22, c = 4 и 2974 + 22 + 4 = 3000.
б) Заметим, что числа a, b, c дают одинаковые остатки от деления на 3, поэтому их сумма должна делиться на 3, что не выполнено для числа 2000.
в) Заметим, что сумма цифр четырехзначного числа не превосходит 4 × 9 = 36. Значит, b = 13, 22, 31. Все такие числа дают остаток 4 при делении на 9 и наоборот: если число дает остаток 4 при делении на 9, то для него c = 4 и b = 4, 13, 22, 31. Всего есть 9000 четырехзначных чисел, среди которых ровно 1000 имеют заданный остаток. Осталось только вычислить, сколько из них дают b = 4 и их отбросить.
Рассмотрим все наборы из 4 цифр с суммой 4: 4000 — одно число; 3100 — шесть чисел (двумя способами выбираем первую цифру, потом тремя способами выбираем, куда поставить вторую ненулевую); 2200 — три числа (первая цифра точно двойка и дальше есть три варианта для второй двойки); 2110 — девять чисел (если на первом месте 1, то дальше есть 6 перестановок цифр 0, 1, 2. Если на первом месте 2, то дальше есть три варианта, куда поставить 0 и этим число полностью определится); 1111 — одно число. Поэтому ответ:
1000 − (1 + 6 + 3 + 9 + 1) = 1000 − 20 = 980.
Ответ: а) да; б) нет; в) 980.