а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 4, бо­ко­вые ребра равны 6. Точка M  — се­ре­ди­на ребра CC₁, на ребре BB₁ от­ме­че­на точка N, такая, что BN : NB₁  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость AMN делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии 1 : 5, счи­тая от точки D.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и AMN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Стро­и­тель­ство но­во­го за­во­да стоит 140 млн руб. За­тра­ты на про­из­вод­ство x тыс. ед. про­дук­ции на таком за­во­де равны 0,2x² + 3x + 1 млн руб. в год. Если про­дук­цию за­во­да про­дать по цене p тыс. руб. за еди­ни­цу, то при­быль фирмы (в млн руб.) за один год со­ста­вит px − (0,2x² + 3x + 1). Когда завод будет по­стро­ен, фирма будет вы­пус­кать про­дук­цию в таком ко­ли­че­стве, чтобы при­быль была наи­боль­шей. В пер­вый год после по­строй­ки за­во­да цена на про­дук­цию p  =  7 тыс. руб. за еди­ни­цу. Каж­дый по­сле­ду­ю­щий год цена уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2 тыс. руб. за еди­ни­цу. За сколь­ко лет оку­пит­ся стро­и­тель­ство за­во­да?

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты BB₁ и CC₁. Пря­мые B₁C₁ и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки PBC₁ и PB₁C по­доб­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до точки пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC, если BP  =  BB₁, ∠ABC  =  80°, а точка B лежит между C и P.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет более од­но­го ре­ше­ния.

Вова за­ду­мал на­ту­раль­ное число а и по­счи­тал сумму его цифр, эту сумму он обо­зна­чил b. Затем он по­счи­тал сумму цифр числа b и обо­зна­чил ее через с. Ока­за­лось, что среди чисел a, b и с нет оди­на­ко­вых.

а)  Может ли a + b + c  =  3000?

б)  Может ли a + b + c  =  2000?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет че­ты­рех­знач­ных чисел а, для ко­то­рых c  =  4?