В треугольнике ABC проведены BK — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Известно, что прямые BK и BE делят отрезок AD на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC — тупоугольный.
б) Найти длину стороны AC, если AB = 4.
а) Пусть треугольник ABC не является тупоугольным. Тогда его высота AD лежит внутри треугольника или совпадает с его стороной. Тогда BD ⩽ AB. Пусть прямая BE пересекает AD в точке F, прямая BK пересекает AD в точке G. По свойству биссектрисы 
Тогда 
Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая: 
откуда 
что невозможно. Получаем противоречие, значит, треугольник ABC тупоугольный.
б) По свойству биссектрисы 
откуда BD = 2, поэтому угол ABC = 60°. Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая:
Осталось применить для треугольника ABC теорему косинусов:
Ответ: б) 