а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы KBCDK₁B₁C₁D₁ лежит ромб KBCD со сто­ро­ной, рав­ной 4 и углом DKB, рав­ным 60°. Точки E и F яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но се­ре­ди­на­ми сто­рон KD и KB ниж­не­го ос­но­ва­ния приз­мы. Пря­мые B₁E и D₁F пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O так, что угол B₁OD₁ равен 90°.

а)  До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стя­ми DD₁F и BB₁E равен 60°.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды EFK₁C₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 3,6 мил­ли­о­нов руб­лей на 36 ме­ся­цев. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐⁠го по 14‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на 15‐⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко тыс. руб­лей уве­ли­чит­ся сумма всех вы­плат, если взять кре­дит с та­ки­ми же усло­ви­я­ми на 72 ме­ся­ца?

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны BK  — ме­ди­а­на, BE  — бис­сек­три­са, AD  — вы­со­та. Из­вест­но, что пря­мые BK и BE делят от­ре­зок AD на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC  — ту­по­уголь­ный.

б)  Найти длину сто­ро­ны AC, если AB  =  4.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно одно ре­ше­ние.

Рас­смат­ри­ва­ют­ся не­по­сто­ян­ные бес­ко­неч­ные ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии a₁, a₂, ..., a_n, ..., со­сто­я­щие из на­ту­раль­ных чисел. Пусть S_n  — сумма пер­вых n чле­нов, S₁  =  a₁.

а)  Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, что S₆  =  1980?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, что для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа n имеют место ра­вен­ства S_n  =  350 и S_n + 2  =  625?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет таких на­ту­раль­ных чисел n, для ко­то­рых су­ще­ству­ет такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, что S_n  =  625?