Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 624023
i

На реб­рах BS и CS пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD cо сто­ро­ной ос­но­ва­ния AD  =  10 и бо­ко­вым реб­ром SA=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та взяты точки K и M со­от­вет­ствен­но так, что SK:BK=CM:SM=3:2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и SC вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой KM и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых KL и BC. Про­ведём пря­мую MN па­рал­лель­но пря­мой BC. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки SNM и SBC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия k= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , сле­до­ва­тель­но,

SN=SM= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби SB=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та ,\quad\quad MC=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та ,\quad\quad MN= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби BC=4.

Тре­уголь­ни­ки MNK и LBK также по­доб­ны с k= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­чит,

BL=2MN=8,\quad\quad LC=18,\quad\quad ко­си­нус \angle SCB= дробь: чис­ли­тель: \tfrac12 BC, зна­ме­на­тель: SC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MC, зна­ме­на­тель: LC конец дроби ,

сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CLM  — пря­мо­уголь­ный с пря­мым углом CML.

 

б)  Пусть SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, H  — про­ек­ция точки M на пря­мую AC, а LH  — про­ек­ция от­рез­ка LM на плос­кость ос­но­ва­ния. Тогда угол MLH  — ис­ко­мый. Далее имеем:

AC=AB ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,\quad\quad AO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,\quad\quad SO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SA в квад­ра­те минус AO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =10,\quad\quad MH= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби SO=6.

Из п. а) тре­уголь­ник CLM  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но,

LM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LC в квад­ра­те минус MC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та ,\quad\quad синус \angle MLH= дробь: чис­ли­тель: MH, зна­ме­на­тель: LM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби ,\quad\quad\angle MLH= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

 

Ответ: б) арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 373
Классификатор стереометрии: Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, Угол между пря­мой и плос­ко­стью
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026